MECÁNICA CUÁNTICA ́ TAREA III

[pic 1]

MECÁNICA CUÁNTICA ́

TAREA III

3. Un electrón en el campo Coulombiano de un protón está en un estado

descrito por la función de onda

[pic 2]

Escriba una expresión para la probabilidad de que sea hallado en el estado

base del  átomo de hidrógeno.

SOLUCIÓN

Sabemos  que la funcion de onda radial del estado fundamental es :

[pic 3]

Por lo que la funcion de onda radial del estado fundamenal con Z=1 queda de la forma:

[pic 4]

Entonces la probabilidad de que el electrón sea hallado en el estado base del  átomo de hidrógeno será

[pic 5]

[pic 6]

                [pic 7]

[pic 8]

La integral no se puede resolver de forma cerrada, entonces

[pic 9]

4. Utilizando la expresión  para  calcule la expresión para[pic 10]

[pic 11]

para un eigenestado arbitrario del  átomo de hidrógeno (con Z arbitraria).

Muestre que generalmente para este potencial

[pic 12]

Este es un ejemplo especial del Teorema del Virial.

SOLUCIÓN

Basandonos en el Hamiltoniano  , de manera analoga tenemos [pic 13]

 [pic 14]

Dado que [pic 15]

[pic 16]

Por lo que

[pic 17]

5. Calcule el espectro de energía de los estados n = 2 en el  átomo de hidrógeno, ignorando estructura hiperfina. ¿Cómo cambia el espectro cuando el  átomo es puesto en un campo magnético de 2.5 T?

SOLUCIÓN

Los efectos que entran en los niveles de energía correspondientes a n = 2, son la interacción básica de Coulomb, los efectos relativistas y de espín-órbita, y la estructura hiperfina que se nos ordena ignorar. Así, en ausencia de un campo magnético, los niveles bajo la influencia del potencial de Coulomb consisten en 2n2=8 niveles degenerados. Dos de los niveles están asociados con l = 0 (girar hacia arriba y hacia abajo) y seis niveles con l = 0, correspondientes a ml = 1,0,-1, giran hacia arriba y hacia abajo. Este último se puede reorganizar en estados caracterizados por J2, L2 y Jz. Hay dos niveles caracterizados por j = l –1/2 = 1/2 y cuatro niveles con j = l + 1/2 = 3/2. Estas energías se dividen por efectos relativistas y acoplamiento espín-órbita, como se indica en la Ec. (12-16). Ignoramos los efectos de masa reducida (distintos de las energías originales de Coulomb). Entonces tenemos que:

...