MEDIA GEOMETRICA

Introducción

Un arreglo de los datos ofrece una información acerca de la variable en estudio, sin embargo, no todo se ha dicho ah cerca de la distribución; tal vez sería conveniente hallar otras descripciones fundamentales de la variable y si distribución; por ejemplo, una descripción que simplifica y representa propiamente a toda la variable, o al conjunto de datos recolectados de una variable, es el promedio o medida de tendencia central. De otro modo, podría decirse que es importante conocer cual es la localización, o mejor aun, conocida la escala de valores que puede tener la variable, saber sobre que valor particular se halla centrado la distribución. Este trabajo universitario se dedicará a este valor que describe el centro de la distribución y a los métodos para hallarlo.

Medidas de tendencia central

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

Entre las medidas de tendencia central tenemos:

Media.

Media ponderada.

Media geométrica.

Media armónica.

Mediana.

Moda.

Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando, en este caso se observan variables cuantitativas.

Datos simples:

Son aquellos que no han sido considerados en un cuadro de distribución de frecuencias.

Datos agrupados ponderados o clasificados:

Son aquellos a los cuales se les aplicado los reglas para construir cuadro de distribución de frecuencia y se encuentran considerados en las clases de una distribución

MEDIA ARITMÉTICA (X¯):

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

La media aritmética para datos no agrupados

Si se dispone de un conjunto de n números, tales como X1, X2, X3,…,Xn, la media aritmética de este conjunto de datos se define como "la suma de los valores de los ni números , divididos entre n", lo que usando los símbolos explicados anteriormente , puede escribirse como:

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:

La media aritmética para datos agrupados

Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, no es posible conocer los valores individuales de cada una de las observaciones, pero si las categorías en las cuales se hallan. Para poder calcular la media, se supondrá que dentro de cada categoría, las observaciones se distribuyen uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase, por lo tanto puede considerarse que todas las observaciones dentro de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto la media aritmética para datos agrupados puede definirse de la siguiente manera:

Si en una tabla de distribución de frecuencia, con r clases, los puntos medio son: X1, X2, X3,…,Xn; y las respectivas frecuencias son f1, f2, f3, … , fn, la media aritmética se calcula de la siguiente manera:

Donde: N = número total de observaciones, por tanto Σfi puede simplificarse y escribirse como N ( N= Σfi )

Ejemplo:

Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera’s y Asociados que fueron los siguientes:

Clases 1 2 3 4 5 6

Puntos Medios (Xi) 14,628 29,043 43.458 57,873 72.288 86.703

Frecuencias (fi) 10 4 5 3 3 5

Al calcular la cuenta promedio por cobrar (media aritmética) de estos datos se tiene lo siguiente:

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg, 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

xi fi

[60, 63) 61.5 5

[63, 66) 64.5 18

[66, 69) 67.5 42

[69, 72) 70.5 27

[72, ∞ ) 8

100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.

Ventajas

Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos

.Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.

Una serie de datos solo tiene una media.

Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones

Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero.

Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.

Desventajas

Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.

No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

MEDIA ARMÓNICA (H)

La idea de promedio es tan manejable que no es sorprendente que se hayan inventado diversos tipos de promedio de modo que pueda representarse con un mínimo de deformación un campo tan amplio como sea posible. Podemos escoger nuestro promedio, y tomamos el apropiado para nuestro propósito. El promedio aritmético de un conjunto de números es el más simple de los promedios ó medidas de centralización.

Un segundo tipo de promedio importante es la Media Armónica, que es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores que queremos promediar. La Media Armónica es el promedio adecuado cuando tratamos con tarifas y precios. Consideremos un ejemplo para explicar este tipo de promedio.

Media armónica para datos no agrupados

Sí, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

* Un aeroplano vuela alrededor de un cuadrado cuyo lado tiene100 Km de largo, tomando el primer lado a 100 Km/h , el segundo lado a 200Km/h , el tercer lado a 300 Km/h y el cuarto lado a 400 Km/h. ¿Cuál es la velocidad media del aeroplano en su vuelo alrededor del cuadrado?

Si promediamos las velocidades usando la media aritmética de la manera usual, tenemos:

Pero éste no es el resultado correcto, ya que lo podemos comprobar de la siguiente manera:

Tiempo para viajar el primer lado 1 hora

Tiempo para viajar el segundo lado 30 minutos

Tiempo para viajar el tercer lado 20 minutos

Tiempo para viajar el cuarto lado 15 minutos

De el desglose anterior tenemos que el tiempo total empleado en recorrer los 400 kilómetros fue de 2 horas 5 minutos, con este total sededuce que la velocidad media del aeroplano en recorrer los 400 Km del cuadrado fue de 192 Km/h

El promedio aritmético nos da

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