MEDICION DE ERRORES

INTRODUCCION:

El proceso de medición es de fundamental importancia en la actividad científica, cualquiera sea la especialidad u orientación. En las ciencias aplicadas, por ejemplo, los ingenieros que trabajan en diseño deben conocer las características de los materiales que planean utilizar. Es decir, alguien debe caracterizar estos materiales a través de mediciones y, una vez realizadas estas mediciones, debe establecer su grado de incerteza, lo cual requiere un análisis de errores.

En las ciencias básicas, el proceso de medición y el análisis del error tienen una importancia aun mayor, pues están relacionados íntimamente con el método científico.

¿QUE ES MEDICION?

La medición es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud.

TIPOS DE ERRORES:

Atendiendo a su naturaleza los errores cometidos en una medición admiten una clasificación en dos grandes vertientes: errores aleatorios y errores sistemáticos.

- Error Sistemático: Tal como su nombre lo indica, se cometen de una misma manera cada vez que se mide. Muchos errores sistemáticos pueden eliminarse aplicando correcciones muy simples. Los errores sistemáticos no se manifiestan como fluctuaciones aleatorias en los resultados de las mediciones.

Ejemplo:

En un estudio acerca de reducción de peso, los investigadores determinaron al final del estudio que la balanza que estaba utilizando para tomar el peso de los participantes no era exacta. La balanza agregaba 10 libras al peso real de la persona cada vez que se usaba la balanza. Debido a que el investigador se dio cuenta de que la balanza agregaba 10 libras de manera consistente al peso de cada participante, se hicieron ajustes a este problema al analizar los resultados.

- Error Aleatorio: Aparecen como fluctuaciones al azar en los valores de mediciones sucesivas. Estas variaciones aleatorias se deben a pequeños errores que escapan al control del observador. Los errores aleatorios se producen de modo no regular, sin un patrón predefinido, variando en magnitud y sentido de forma aleatoria, son difíciles de prever, y dan lugar a la falta de calidad de la medición

Ejemplo:

En un estudio sobre reducción de peso, se utilizó una balanza que agregaba o quitaba algunos gramos en cada ocasión que su usó. El investigador no sabía que la balanza no medía el peso exacto del participante. Por ello, el investigador no pudo hacer ajustes para este problema al analizar los resultados. Esto causa que los resultados del estudio incluyan algunos errores.

PRECISION Y EXACTITUD:

Diremos que una medición es precisa cuando la dispersión de los distintos valores obtenidos es pequeña, es decir, cuando los errores aleatorios son pequeños.

Por otra parte, diremos que una medición es exacta cuando los errores sistemáticos asociados con ella son pequeños.

COMO EXPRESAR INCERTEZAS:

La forma correcta de escribir el resultado de una medición es dar la mejor estimación del valor de la cantidad medida y el rango dentro del cual Ud. puede asegurar que este valor se encuentra. Convencidos de que no existe tal cosa como el valor real de una cantidad a medir, debemos conformarnos con saber dentro de qué intervalo estamos seguros que la cantidad a medir se encuentra.

En general, el resultado de una medición cualquiera se expresa como

(Valor medido de x) = xmejor ± Dx.

Ejemplo

- Al medir la masa de agua en una cubeta de aluminio con una balanza domestica obtuvimos un valor que oscila entre 4.5 - 4.6 L.

Mejor estimación de la masa de agua = 4.55 L

Rango Probable: 4.5 – 4.6 L.

Debiendo escribir el resultado de esta manera:

Valor medido de la masa = 4.55 ± 0.5 mL

Cifras significativas:

Existen varias reglas usadas para expresar las incertezas que vale la pena enfatizar. En primer lugar, debido a que la cantidad x es una estimación de la incerteza, obviamente no debe establecerse con demasiada precisión.

Regla para expresar las incertezas

Las incertezas experimentales deben ser redondeadas en la mayor parte de los casos a una sola cifra significativa.

Regla para escribir los resultados

La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud (estar en la misma posición decimal) que la incerteza.

Incerteza o error relativo

La incerteza x en una medición,

(x medido) = xmejor ± Dx,

Indica la precisión de la medición. Sin embargo, la incerteza x por sí misma no nos dice demasiado. Una incerteza de un centímetro en una distancia de un kilómetro indicaría una medición inusualmente precisa, mientras que una incerteza de un centímetro en una distancia de tres centímetros indicaría una estimación grosera. Obviamente entonces, la calidad de una medición no está dada sólo por la incerteza x sino también por el cociente entre x y xmejor, lo cual nos lleva a definir el error o incerteza relativa:

Error relativo = Dx /|xmejor|.

En la mayoría de las mediciones medianamente cuidadosas, la incerteza x es mucho menor que el valor medido xmejor. Debido a que el error relativo x /|xmejor| resulta ser entonces un número pequeño, es conveniente a veces multiplicarlo por 100 y referirse a él como el error o incerteza porcentual. Por ejemplo, la medición

longitud l = 50 ± 1 cm

tiene un error relativo

l /|lmejor| = 1 cm / 50 cm = 0.02

y un error porcentual de 2%. Por lo tanto, el resultado puede escribirse también como

longitud l = 50 cm ± 2%.

El error porcentual es una indicación aproximada de la calidad de la medición, cualquiera sea el tamaño de la cantidad medida.

Errores porcentuales del 10% comúnmente caracterizan a las mediciones gruesas. (Una medición gruesa de 10 cm podría tener una incerteza del orden del cm; una medición gruesa de 10 kilómetros podría tener una incerteza del orden del kilómetro).

Incertezas relativas del 1 o 2% son características de experimentos razonablemente cuidadosos y están cerca del mejor valor que puede obtenerse en experimentos de laboratorio de nivel introductorio. Errores relativos menores al 1% son difíciles de obtener y son raros de encontrar en el laboratorio de nivel introductorio.

Esta clasificación es, por supuesto, muy gruesa. Por ejemplo, una buena cinta métrica puede medir una distancia de 3 metros con una incerteza del orden de un tercio de milímetro, o aproximadamente 0.1%. En todo caso debemos recordar, sin embargo, que el proceso de medición involucra al aparato de medida, al observador y al sistema a medir, y existen errores asociados a cada uno de ellos. Aunque la cinta métrica de este ejemplo pueda permitir mediciones con una precisión del 0.1%, puede que los demás factores involucrados en la medición empeoren la precisión del resultado final.

Reglas para expresar una medida y su error

Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida.

Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energía o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos medir

Además, todas las medidas está afectadas en algún grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la información.

1.- Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas.

Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido

297±2 mm.

De este modo, entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí.

2.- Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).

3.-La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

Medidas directas

Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador.

Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son x1, x2, ... xn se adopta como mejor estimación del valor verdadero, el valor medio <x>, que viene dado por

El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar 4 ó 5.

Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por

El resultado del experimento se expresa como

<x>±Dx y la unidad de medida

4.-La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Si no, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida.

Ejemplos:

1. Si al hacer una medida de la intensidad con un amperímetro cuya división o cifra significativa más pequeña es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresará así

0.64±0.01 A

2. Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:

El error cuadrático será

Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), Dt=0.05 s. Pero el error cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida es

t=6.3±0.1 s

3. Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático es en esta caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como

t=6.0±0.2 s

Error absoluto y error relativo

Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir

donde <x> se toma en valor absoluto, de forma que e es siempre positivo.

El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.

Medidas indirectas

En muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.

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