MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL

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Contenido

1.        INTRODUCCIÓN        2

2.        MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL, DATOS NO AGRUPADOS        2

2.1         CUARTILES        2

2.1         DECILES        3

2.2         PORCENTILES O PERCENTILES        4

3.        MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL, DATOS AGRUPADOS        4

3.1         CUARTILES        4

3.2         DECILES        6

3.3        PORCENTILES O PERCENTILES        7

4.        EJERCICIOS        9

1)        Para el conjunto de valores 12, 15, 18, 20, 21, 25, 30, calcular el Q1, Q3, D4 y P52.        9

2)        Para la siguiente distribución de frecuencias de IQ (cociente intelectual) de 81 personas en una universidad, determinar el Q1, Q3, D4 y P37.        9

1. INTRODUCCIÓN

En esta oportunidad se verán medidas que no son de tendencia central, más bien son medidas de posición. Son medidas que sirven para determinar la cantidad o porcentaje de observaciones o valores que se ubican exactamente por debajo o arriba de las posiciones que se requiere investigar.

Entre las principales medidas de posición están los denominados cuartiles, deciles y porcentiles o percentiles. Los primeros dividen a un conjunto de datos en cuatro partes iguales, los segundos en diez y los terceros, en cien.

1. MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL, DATOS NO AGRUPADOS

Tal como se ha determinado en clase, la cantidad de datos que se tienen en un problema determinado orientan para hacer o no clases o categorías. Para el caso de una cantidad de datos menor que 30, se ha establecido que se deben tratar como datos no agrupados.

2.1                CUARTILES

Los cuartiles dividen a un conjunto de datos en cuatro partes iguales, como se indica en la Figura de abajo. Se identificarán los cuartiles primero, segundo y tercero como Q1, Q2 y Q3, respectivamente. La Q es la inicial de la palabra inglesa “QUARTER” que significa “cuarto”, de donde se deriva la subdivisión de la unidad en cuartas partes.

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                            Q1                               Q2                              Q3        

El valor Q1 (primer cuartil) indica que existe un 25% de valores menores que él y un 75% de valores mayores. El Q2 (segundo cuartil), significa que debajo y arriba de él se ubican el 50% de los valores. Por deducción lógica, este cuartil equivale a la mediana (Q2=Md). El tercer cuartil (Q3) es lo contrario del primero, es decir, el 25% de los valores están arriba de ese valor y debajo del mismo se encuentra el 75% de los valores.

Es necesario ordenar los datos de menor a mayor, o viceversa, para encontrar los valores correspondientes a Q1, Q2 y Q3. Veremos únicamente los cuartiles primero y tercero, pues el segundo, con calcular la mediana, ya lo tenemos.

Fórmulas para el primero y tercer cuartil:

Posición del primer cuartil: Q1 = (k/4) n

K = número del cuartil de interés (1 para el primero, 2 para el segundo y 3 para el tercero).

4 = constante, debido a que se refiere a cuartas partes.

n = número de datos.

Posición del tercer cuartil: Q3 = (3k/4) n

Ejemplo 1: calcular el valor del primer cuartil del conjunto de datos 3, 5, 7, 9, 10

Posición del primer cuartil: Q1 = (1/4) n

Posición del primer cuartil: Q1 = (0.25)*5 = 1.25

El valor del primer cuartil está en la posición 1.25. Ese valor se encuentra a 0.25 unidades de la diferencia entre el primero y el segundo valor,  es decir a 0.25 unidades de (5-3) = 0.25 (2), es decir, 0.5. Entonces, el valor del primer cuartil es 2 + 0.5 = 2.50.

Interpretación: El 25% de los valores se encuentra debajo del valor 2.50 y el 75% de los valores se ubica arriba de ese valor.

Ejemplo 2: Calcular el tercer cuartil del conjunto de datos 3, 5, 7, 9, 10

Posición del tercer cuartil: Q3 = (3/4)n

Posición del tercer cuartil: Q3 =  (0.75)*5 = 3.75

El valor del tercer cuartil está en la posición 3.75. Ese valor se encuentra a 0.75 unidades de la diferencia entre el tercero y el cuarto valor, es decir a 0.75 unidades de (9-7) = 0.75 (2), es decir, 1.5. Entonces, el valor del tercer cuartil es 7 + 1.5 = 8.50.

Interpretación: El 25% de los valores se encuentra arriba del valor 8.50 y el 75% de los valores se ubica por debajo de ese valor.

2.1                DECILES

Los deciles dividen a un conjunto de datos en diez partes iguales. Se les identifica desde el primero al último como D1, D2, D3,………, D9 como primer decil, segundo decil, tercer decil, etc.

La fórmula general para el k-ésimo decil (cualquiera que sea) es:

Posición del Dk = (k/10)*n

En donde k representa al número de decil en que se está interesado, es decir, 1, 2, 3, etc.

Ejemplo 3: Calcular el valor del séptimo decil del conjunto de datos: 10, 20, 30, 45, 60, 75, 80, 90:

Posición del Dk = (k/10)n

Posición del D7 = (7/10)*8 = 5.6

Como los datos ya están ordenados, la posición 5.6 se ubica entre los valores 60 y 75 o sea entre los valores que ocupan la quinta y sexta posición. Esto significa que el valor del séptimo decil está exactamente a 0.6 unidades de la diferencia entre 60 y 75, así:

Valor del D7 = 0.6 (75 – 60) = 0.6 (15) = 9. Este valor se lo debemos sumar al valor 60 lo cual equivale a 60 + 9 = 69.

Interpretación: El 70% de los valores se encuentran por debajo del valor 69 y el 30% por arriba de él.

2.2                PORCENTILES O PERCENTILES

Los porcentiles o percentiles dividen a una distribución de valores en 100 partes iguales. De ahí su nombre. Se identifican desde P1 para el primer percentil hasta el P99 para el último. La fórmula general para el k-ésimo (cualquier percentil) es:

Posición del porcentil: Pk = (k/100)n

En donde k representa al número de percentil que se desee calcular.

Ejemplo 4: Calcular el 43 percentil del conjunto de datos: 10, 20, 30, 45, 60, 75, 80, 90:

Posición del porcentil Pk = (k/100)n = (43/100)*8 = 0.43*8 = 3.44.

El valor del 43 percentil se ubica a 0.44 unidades entre los valores que ocupan las posiciones 3 y 4. Es decir a 0.44 unidades de la diferencia de los valores tercero y cuarto, que equivale a 0.44 (45 – 30) = 0.44 (15) = 6.6. Este valor hay que sumarlo al valor que está en la tercera posición, es decir: 30 + 6.6 = 36.6.

Interpretación: El 43% de los valores están debajo del valor 36.6 y el 57% por encima.

1. MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL, DATOS AGRUPADOS

Cuando se tienen más de 30 datos, es necesario construir clases o categorías en los datos.

3.1                CUARTILES

La fórmula para el cálculo de los cuartiles para datos agrupados, se incluyen a continuación:

1. Primer cuartil:

Q1 = Lri +[ (n/4 – Fac / fi) w]

En donde:

Q1 = Primer cuartil

Lri = límite real inferior de la clase donde se encuentra el primer cuartil

Clase del Q1 = aquella que en frecuencia acumulada es igual o mayor que el valor n/4.

n = Número de datos

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