MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central permite hallar un solo valor numérico e indican el centro de un conjunto de datos. Debido a esta circunstancia, suelen ser llamados de posición o tendencia central.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

MEDIDA ARITMETICA ([pic 2] )[pic 3]

La medida aritmética denominada también promedio se considera como un valor representativo del conjunto de datos que se está estudiando y caracteriza a toda una distribución. En su cálculo intervienen todos los valores que se están estudiando. A continuación damos la siguiente definición:

Definición.- si tenemos N  dato representados por : X1,  X2, ... XN.  La media aritmética de estos N datos esta dado por:

                X1 + X2  + .... +  XN[pic 4]

       X    =[pic 5]

                        N

Simbólicamente lo podemos representar como:

[pic 6]

[pic 7]

Ejemplo 1: las edades de 6 pre - escolares son:

                 Xi:   4,  1,   3,   5,  2,    3    años

La edad promedio de estos 6 niños es:

                                4+ 1 + 3 + 5 + 2 + 3                18[pic 8]

X=                                           =                 =  3 años[pic 9][pic 10]

                         6                                     6                                

La edad promedio de los 6 pre - escolares es de 3 años. Esto quiere decir que cada pre-escolar asume un edad de 3 años porque la media aritmética es un valor representativo del conjunto de datos.

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA

• la media aritmética puede ser un valor positivo, cero, o un valor negativo.
• Si a los valores que estamos estudiando le sumamos o restamos una constante, el valor de la nueva media aritmética quedaría como la media aritmética de los datos originales mas o menos la constante que se ha agregado.

Ejemplo 2.- consideremos los datos en el ejemplo 1, es decir:4,1,3,5,2,3. La media aritmética de estos datos fue 3.

Si a cada uno de los datos le sumamos el valor de 2. La media aritmética de estos nuevos valores es:

     Xi                      Xi    +    2       

[pic 11]

                                     4                        6

                                     1                        3                                                                             3                        5

                                     5                        7

     2                        4

     3                        5

[pic 12]

1. 30

la nueva media aritmética es  x =30/6 = 5, es decir,[pic 13]

[pic 14]

X        =         3        +        2        =        x        +        2.[pic 15]

Si a cada uno de los valores le restamos 1,  el valor  de la nueva media aritmética es:

[pic 16][pic 17]

X        =        X          -        1        =        3        -        1        =        2

si a cada valor de la serie le multiplicamos por una constante, la nueva media aritmética original multiplicada por la constante, es decir:

X         =K  X,        donde k es una constante.[pic 18][pic 19]

• la suma de las desviaciones de los datos con respecto a la media es cero, es decir:

                      N

                      ∑    Xi - X[pic 20]

                  i=1                [pic 21]

            X =                           =  0[pic 22]

                   N

1. MEDIANA  (Me o X[pic 23][pic 24]).-[pic 25][pic 26]

La mediana es un valor que divide a la distribución ordenada en forma ascendente o descendente en dos grupos iguales, es decir, a cada grupo le corresponde el 50% de los datos. El siguiente diagrama nos da una idea intuitiva de lo que es la mediana:

                   50%                                               50%

                                                                   ∙[pic 27][pic 28]

        VMIN.                                       Me                                VMAX.

Para calcular el valor de la mediana de los datos X1 , X2  , ....., XN,     se tendrá en cuenta el siguiente procedimiento:

1.- se ordenan los datos en forma ascendente o descendente.

2.- si N  es impar, el valor de la mediana es el valor del centro, es decir,

Me = X(N+1) / 2

                Donde (N+1)/2 es la posición de la mediana.

3.- si N es par, el valor de la mediana va estar dado por:

   Me  =          XN/2 +X(N/2+1)

[pic 29]

                                                                                             2

esto quiere decir, que el valor de la mediana se encuentra entre los valores cuya posición son: N/2  Y  N/2  +  1.

Ejemplo 3.  Encontrar la edad mediana de las celdas de 7 niños que se presentan a continuación: 2,  3,  6,  1,  5,  7,  9.

Observando la serie se tiene: 1,  2,  3,  5,  6,  7,  9.

Como el numero de datos es impar (n=7), se tiene que la posición de la mediana es: (n+1)/2  = (7+1)/2  = 4, por consiguiente, el valor de la mediana esta ubicada en la posición 4, es decir, Me =  X4  =5 años.

Esto significa que el 50%  de los pre- escolares tienen una edad de 5 años o menos y el 50% restante están por encima de 5.

 Ejemplo 4.-  encontrar el puntaje mediano, de 8 puntuaciones que se dan a continuación: 11,  13,  20,  14,  3,  7,  12.

Ordenando la serie ascendente se tiene 3,  7,  8,  11,  12,  13,  14,  20.

En este caso N es un numero par, por consiguiente la mediana se localiza entre los valores  X4 y X5  (ósea esta entre la posición 4 y 5), es decir, entre los valores 11 y 12.

Por lo tanto el valor de la mediana es: Me =(11+2)/2 =11.5.

Esto nos indica que el 50% de los puntajes están por debajo de 11.5 años y el 50% restante por encima de los 11.5 puntos.

Nota: el valor de la mediana puede o no coincidir con uno de los datos que se están estudiando.

.Ejemplo 5.-calcular la media aritmética para la siguiente serie de datos: 2, 4, 5, 6, 9, 30, 11. Además, identifique cuál de ellos es el más representativo.

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