Matemáticas - Fractales

Nadie hizo caso a los comentarios de Perrin, y este asunto quedó dormido hasta finales de la década 1960-1970, cuando Mandelbrot lo retomó. Si se hubiera seguido investigando la observación hecha por Perrin a principios de siglo, lo que hoy llamamos fractales posiblemente habría sido desarrollado 60 años antes.

Esto es un ejemplo de situaciones que no son muy raras en la historia de la ciencia. Algún científico se da cuenta de cierto fenómeno, pero por diversos motivos nadie se ocupa de él y cae en el olvido, lo que ilustra el hecho de que el desarrollo de la ciencia no es tan objetivo como se quisiera pensar.

Benoît Mandelbrot

Más de una vez hemos mencionado a Benoît Mandelbrot (figura 3), ahora conocerás quien es, pues aporto enormes conocimientos; es considerado el padre de la geometría fractal. Nació en Varsovia el 20 de noviembre de 1924 dentro de una familia con cierta tradición académica (aunque su padre se ganaba la vida con la compra-venta de ropa). Fueron dos tíos suyos quienes se encargaron de introducir a Mandelbrot en el mundo de las matemáticas. Uno de ellos, Szolem Mandelbrojt, se encargó de su educación cuando la familia Mandelbrot emigró a Francia en 1936.

El hecho de que Mandelbrot estudiara en la época de la Primera Guerra Mundial, entre otras cosas, provocó que su educación no fuera convencional. El propio Mandelbrot atribuye gran parte de su éxito matemático a esta educación poco convencional, ya que ello le permitió pensar de forma distinta a la que se le suele inculcar a quien sigue la educación habitual. Su gran visión e intuición geométrica también contribuyeron a ello.

Después de estudiar en Lyon y permanecer un día en la École Normale de París, Mandelbrot comenzó sus estudios en la École Polytechnique en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy, quien también ejerció gran influencia en él. Más adelante se doctoró en la Universidad de París y viajó a Estados Unidos, donde, entre otras cosas, fue el último estudiante de postdoctorado de John Von Neumann. Echando un ojo a los mentores de Mandelbrot podemos ver que la lista no tiene desperdicio, si uno era bueno el siguiente era mejor.

A lo largo de su vida fue profesor en la Universidad de Harvard y en la Universidad de Yale (donde terminó su carrera), entre otras instituciones. Pero posiblemente fue su trabajo en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de Nueva York lo que más le ayudó en sus estudios, ya que allí le brindaron libertad total en sus investigaciones.

Benoît Mandelbrot 1924 – 2010.

Dimensión fraccionaria

Hacia 1977, Benoît Mandelbrot se vio forzado a dar una definición formal que permitiera distinguir con más claridad una entidad fractal. Para hacerlo recurrió al antiguo concepto de dimensión de Hausdorff y en respuesta al pragmatismo definió, en general, todos los fractales como el conjunto de formas con dimensión fraccional. Mandelbrot era perfectamente consciente de que esta definición, si bien establecía una frontera bien delimitada con la geometría euclidiana de los conos y las esferas (en la que los cuerpos tienen una dimensión de Hausdorff entera), dejaba una puerta abierta hacia la región del caos geométrico. Sin embargo, a la espera de mejores definiciones, inició el trabajo que con hechos y con el lenguaje de las imágenes le mostraría al mundo el verdadero significado del término fractal. Sus resultados abrieron la puerta de un mundo impresionante donde habita el verdadero sentido de la palabra obsesión, donde las matemáticas se confunden con el arte, y la ciencia ha encontrado nuevas respuestas.

La dimensión de un fractal puede ser 1.5, 8/3, o 2.6333333…, etc. El desarrollo matemático que justifica esta insólita característica se puede entender en forma aproximada a partir de la noción intuitiva de dimensión. Suponiendo que se define una curva como un fractal, es decir dando la receta para su trazado, y se comienza a trazar en un plano (dimensión 2). Supongamos que alguien demuestra que, dado un punto cualquiera de ese plano, indefectiblemente llegará el momento en que, si se continúa trazando la curva, ésta pasará por ese punto, o sea que contendrá a ese punto. Poco importa que se demore un minuto o un billón de años. En teoría matemática eso no cuenta. En otras palabras, en tiempo infinito, la curva cubrirá completamente el plano. Aunque la geometría indica que por ser una curva tiene dimensión 1, la idea intuitiva de dimensión lleva a pensar que, a los efectos prácticos, debería tener la misma dimensión que el plano, o sea 2. Generalizando la idea, si se pudiera suponer que una curva, trazada en tiempo infinito, “cubrirá” con una cierta densidad una cierta área en el plano, uno podría suponer que su dimensión debería estar entre 1 y 2. Antes de las computadoras, estos conceptos no habrían pasado de ser un divertimento intelectual, como lo fueron las curvas de Peano (Figura 4) y otros objetos matemáticos que, debido a su comportamiento patológico, fueron considerados “monstruosidades” en su época por los formales puristas de la geometría y el álgebra. Pero hoy las computadoras, con su asombrosa capacidad de cálculo, realizando muchos millones de operaciones por segundo, y mostrando el resultado de esas operaciones en pantallas a color con la misma velocidad, permiten acercarse tanto como se quiera a esas abstracciones infinitas, que dejan de serlo para materializarse ante nuestros ojos en imágenes de singular belleza.

Iteraciones

A finales de los años setenta Benoit Mandelbrot incursionó en un área de las matemáticas que lo llevó a construir algunos

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