Matemáticas

ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita figura en un logaritmo.

Para resolver una ecuación logarítmica se aplican las propiedades de los logaritmos:

y la relación loga X = loga Y  X =Y (si los logaritmos de dos números en la misma base son iguales, entonces

los números han de ser también iguales).

De esta forma, la ecuación dada se debe expresar en la forma loga X= loga Y, pues de esta ecuación se pasa a la ecuación algebraica X=Y, que se resuelve como ya sabemos.

- Resolvamos las siguientes ecuaciones logarítmicas

• log x + log 20 = 3

Logaritmo de un producto: log 20x = 3

Como log 1.000 = 3, escribimos la ecuación así: log 20x = log 1.000

Por la igualdad de logaritmos: 20x = 1.000

Resolvemos esta ecuación algebraica: x = 1.000/20 Þ x = 50

Observemos que, también, la ecuación log 20x = 3 se puede resolver directamente aplicando la definición de logaritmo:

log 20x = 3 Û 20x = 103 Û 20x = 1.000 Û x = 1.000/20 Û x = 50

• 2 log x = log (4x + 12)

Logaritmo de una potencia: log x2 = log (4x + 12)

Por la igualdad de logaritmos: x2 = 4x + 12

Resolvemos esta ecuación de 2º grado: x2 - 4x - 12 = 0 Þ x = 6, x = -2

Atención: Al resolver una ecuación logarítmica pueden aparecer soluciones no válidas como sucede en el ejemplo anterior. La raíz x = -2 no es válida ya que log (-2) no existe (recuerda que en la definición de logaritmo de un número Y se exigía Y > 0). Por lo tanto, la única solución válida es x = 6.

• log x3 = log 6 + 2 log x

Logaritmo de una potencia: 3 log x = log 6 + 2 log x

Pasamos la incógnita al primer miembro: 3 log x - 2 log x = log 6

Operamos: log x = log 6

Por la igualdad de logaritmos: x = 6

•

ECUACIONES EXPONENCIALES

Ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial se aplican las propiedades de las potencias:

an × am = an+m

an : am = an-m

an × bn = (a . b)n

an : bn = (a : b)n

(an)m = an.m

y la relación am = an  m = n (si dos potencias que tienen la misma base son iguales, entonces sus exponentes han de ser también iguales).

Así, la ecuación dada se intenta expresar en la forma am = an, y de esta ecuación pasamos, por la unicidad de las potencias, a la ecuación algebraica m = n, que se resuelve.

- Resolvamos las siguientes ecuaciones exponenciales.

• 2x2. 22x – 256 = 0

Producto de potencias de la misma base: 2x2. 22x – 256 = 0

Pasamos 256 al segundo miembro y se factoriza:

2x2. 22x = 256  2x2+2x =28

Por la igualdad de potencias: x2 + 2x=8

Resolvemos la ecuación de segundo grado: x2 + 2x – 8 = 0 => x=2 y x=-4, que son ambas válidas.

• 4x+1 = 8

Factorizamos 4 y 8: (22)x+1 = 23

Potencia de una potencia: 22x+2 = 23

Por la igualdad

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