Matrices Algebra

MATRIZ IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, y los elementos fuera de la diagonal principal son 0. Se encuentra denotada por la letra I, y también se conoce como matriz unidad.

I=(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))

MATRIZ DIAGONAL

Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son 0. Es una matriz de orden nxn.

A=(■(21&0&0@0&5&0@0&0&4))

MATRIZ DIAGONAL PRINCIPAL

Es aquella matriz en la cual todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal formada entre la esquina superior izquierda y la esquina inferior derecha son iguales a 0.

A=(■(12&0&0@0&15&0@0&0&4))

MATRIZ DIAGONAL SECUNDARIA

Es aquella matriz en la cual todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal formada entre la esquina superior derecha y la esquina inferior izquierda son iguales a 0.

A=(■(0&0&10@0&5&0@24&0&0))

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que se encuentran situados por encima de la diagonal principal no son iguales a 0 y todos los elementos que se encuentran situados por debajo de la diagonal principal son iguales a 0.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que se encuentran situados por encima de la diagonal principal son iguales a 0 y todos los elementos que se encuentran situados por debajo de la diagonal principal no son iguales a 0.

M_sup=(■(8&4&10@0&5&6@0&0&3)) M_inf=(■(8&0&0@6&5&0@7&9&3))

MATRIZ SIMETRICA

Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada A que coincide con su transpuesta: A=A^t . En una matriz simétrica cualquier par de elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales.

MATRIZ ANTISIMETRICA

Se llama matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada A que coincide con la opuesta de su transpuesta: A=〖-A〗^t .

MATRIZ INVERSA Y SUS PROPIEDADES

Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A•A-1 = A-1•A = I

Propiedades:

1. Si existe, A^(-1) es única.

2. (A^(-1) )^(-1)=A

3. (A.B)^(-1)= B^(-1).A^(-1)

4. El determinante de una matriz regular A es el inverso del determinante de su matriz inversa. Si el determinante es nulo la matriz no tiene inversa.

|A^(-1) |=1/|A|

Ejemplo:

A=(■(2&3@1&1)) ; A^(-1)=(■(-1&3@1&-2))

MATRIZ ORTOGONAL

Una matriz es ortogonal, si al multiplicarla por su tranpuesta, da como resultado la matriz identidad, es decir: AxA^t=I. El determinante de toda matriz ortogonal es 1 o -1, si se multiplican dos matrices ortogonales da como resultado otra matriz ortogonal, la transpuesta de una matriz ortogonal también es ortogonal y la inversa de una matriz ortogonal también es ortogonal.

A=(■(1&0@0&1)) A^t=(■(1&0@0&1))

A.A^t= (■(1&0@0&1))* (■(1&0@0&1))= (■(1&0@0&1))

MATRIZ TRANSPUESTA Y SUS PROPIEDADES

Se llama traspuesta de la matriz A, a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At.

Propiedades:

(A^t )^t=A

(A+B)^t=A^t+B^t

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