Ensayo de Matrices. ALGEBRA LINEAL

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ALGEBRA LINEAL

En este análisis teórico de Algebra Lineal, de Atlantic International University (AIU) se analizara el contexto de matrices, desde la perspectiva contemporánea. Utilizando material de los últimos cinco años, el estudio que toman una función fundamental en el desarrollo de las ciencias matemáticas, y en el aspecto estructural de la carrera de ingeniería civil.

Se desarrollara un esquema teórico y analítico de matrices y su función, algunos conceptos y análisis actuales.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Este análisis tiene con finalidad el enfoque de matrices y vectores para ingeniería civil.

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MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma

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La matriz anterior se denota también por (aij), i =1,…, m, j =1,…, n, o simplemente por (ai j).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,…, y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,…

Ejemplo:

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Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

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CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

 Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.[pic 7]

Ejemplo: Sean las matrices

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Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (aij) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,…, ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (aij) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

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Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag. (d11, d22,…, dnn ). Por ejemplo,

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Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag. (3,-1,7) diag.(4,-3) y diag.(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

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En otras palabras, si A = (aij) es una matriz m ð n, entonces AT = [pic 15]
es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (Ka)T = Kat (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es anti simétrica,

siAT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

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Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es anti simétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni anti simétrica.

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Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

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