Matriz De Una Transformación Lineal
Enviado por josiher1 • 6 de Abril de 2015 • 514 Palabras (3 Páginas) • 246 Visitas
Matriz de una Transformación Lineal
Sea T : V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V y B0= {v10, . . . , vn0} una base de W.
La matriz A m × n cuyas columnas son: [T(v1)]B0 , . . . , [T(vn)]B0n es la ´única matriz que satisface [T(~v)]B0 = A[~v]B para todo ~v ∈ V .
Definición 28.1
La matriz A de la afirmación anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B0. Si
V = W y B =B0,
A se llama matriz de T con respecto a B.
Ejemplo 28.1
Suponga que
TODA TRANSFORMACIÓN LINEAL ES MATRICIAL
A pesar de que las transformaciones matriciales son las transformaciones lineales más sencillas, en Rn son las únicas. Esto lo afirma el siguiente resultado.
Teorema
Toda transformación lineal T : Rn → Rm es una transformación matricial.
OPERATIVA DEL TRABAJO CON TRANSFORMACIONES
Lo que afirma el siguiente resultado es que para trabajar con una transformación lineal (Núcleo, subsepacios, o imagen) es equivalente a trabajar con la matriz de la transformación.
Teorema
Sea T : V →W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensiones finitas, V y W. Sea A la matriz de T con respecto a las bases B = {v1, ...vn} ⊆ V y B0= {v10, ..., vm0} ⊆ W.
Entonces,
• ~v esta en el núcleo de T si y solo si [v]B esta en el espacio nulo de A. Es decir, A[v]B = 0.
• ~w esta en el contradomio de T si y solo si [w]B0 se encuentra en el espacio de columnas de A. Es decir, Ax = [w]B0 es consistente.
• T es biunívoca si y solo si la reducida de A tiene n pivotes.
• T es sobre si y solo si la reducida de A tiene m pivotes.
• T es un isomorfismo si y s´olo si A es invertible
Ejemplo 28.6
Suponga que
T : P1 → P1
Se define como
T(p) = (1 + 6 x) p0 − 6 p
Determine la matriz [T]B0B para las bases
B = {5 + 5 x, −4 + 2 x}
y
B0 = {5 − x, −4 − 4 x}
Utilice
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