Transformaciones Lineales

Transformaciones lineales

Las propiedades generales y los tipos especiales de transformaciones lineales, se introduce la estructura del núcleo y de la imagen de una transformación lineal y se estudia la relación entre sus dimensiones, al fijar una base en cada espacio se determina la matriz asociada a una transformación lineal y fijamente se trata de los espacios vectoriales de las transformaciones lineales y el espacio dual de un espacio vectorial.

Definición:

Consideremos dos espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo K, a la función T:V → W, llamaremos una transformación lineal u homomorfismo si y solo si cumple con las siguientes condiciones.

T(x+y)=T(x)+T(y),∀x,y ∈V

Es decir: que la imagen de la suma de dos vectores de V es igual a la suma de sus imágenes en W.

T(λx)= λT(x),∀ x∈V,λ∈K

Es decir: que la imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W.

Matriz Asociada a una transformación lineal

Interpretación geométrica:

Sea T; V→W, una transformación lineal.

V T W

Teorema:

Sean(V, +K) y (W + k) dos espacios vectoriales, la función T:V→W es una transformación lineal si solo si T(αx+βy)=αT(x)+βT(y),∀α,β∈k y ∀x,y ∈V

Suponiendo que T: V → W es una transformación lineal entonces (i), (ii) son válidos; como V en un espacio vectorial => αx, βy ϵ V, ∀ α,β ∈k y ∀x,y ∈V

Entonces αx+ βy ∈V ahora por la parte (i) se tiene: T(αx+βy)=T(αx)+T(βy)y por la parte (ii) se tiene:

Clasificación de las transformaciones lineales:

Sean (V+K), (W+k) dos espacios vectoriales y f: V→ W una transformación lineal es decir que se cumple (i) y (ii) en esta definición f no tiene ninguna condición salvo que solamente sea una función por lo tanto los siguientes conceptos:

f es un monomorfismo ↔ f es inyectiva

f es un epimorfismo ↔ f es sobreyectiva

f es ismorfismo ↔ f es biyectiva

si V = W, entonces la transformación lineal f se llama endomorfismo y si esta es biyectiva entonces recibe el nombre de automorfismo, es decir un automorfismo es toda transformación lineal de un espacio vectorial en sí mismo.

Ejemplo: si f: R2 → R2 es una aplicación definida por f(x,y)=(x + y, x - y) ¿f es un automorfismo?

Solución:

Para que f sea un automorfismo debemos probar que f sea una transformación lineal biyectiva.

f es una transformación lineal:

f((x1, y1)+(x2, y2))=f(x_1+x_2,y_1+y_2)

= (x_1+ x_2+ y_1+ y_2,x_1+x_2-y_1-y_2 )

=(x_1+y_1,x_1-y_1 )+(x_2+y_2,x_2-y_2 )=f(x_1,y_1 )+f(x_2,y_2)

f(λ(x,y)= f(λx,λy)=(λx+λy, λx-λy) = λ(x+y,x-y)= λf(x,y)

por lo tanto de (i) y (ii) f es una transformación lineal.

f es inyectiva

Sean (x1, y1), (x2, y2) →(x_1+y_1,x_1-y_1 )=(x_2+y_2,x_2-y_2)

{█(x_1+ y_1=x_2 〖+y〗_2@x_1 〖-y〗_1=x_2 〖-y〗_2 )┤→{█(x_1=x_2@y_1 〖=y〗_2 )┤

Luego f(x_1,y_1 )=f(x_2,y_2 )→(x_1,y_1 )=(x_2,y_2)

Por lo tanto f es inyectiva.

f es subyectiva

f(x_1,y_1 )=f((x_2+y_2)/2,(x_2-y_2)/2)=((x_2+y_2)/2+(x_2-y_2)/2,(x_2+y_2)/2-(x_2-y_2)/2)

=(x_2,y_2 ), por lo tanto f es sobreyectiva

Luego de (a),(b)y (c) f es un automorfismo

Ejemplo:

Sea f : R2 → R3

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