Transformaciones Lineales

Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Se deduce inmediatamente que una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívocamente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio [1].

Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T : V → W

Que verifique

T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) para todo u1, u2 EV

T(λu) = λT(u) para todo u E V y λ E K

Una función, aplicación o transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un espacio vectorial V, para convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial W.

Como se ha visto, una transformación tiene tres elementos esenciales: el dominio, el codominio y la regla de correspondencia; además, tiene dos características importantes derivadas de las tres antes mencionadas: el recorrido (perteneciente al codominio) y el núcleo (parte del dominio)

En Álgebra lineal se ha hablado de operaciones de suma de vectores y de multiplicación de un escalar; para que una transformación sea caso de estudio en Álgebra lineal, es necesario que mantengan dichas operaciones válidas a lo largo de la transformación. Es así como surge el concepto de transformación lineal.

Es decir, T es lineal si preserva las dos operaciones definidas dentro del espacio vectorial: suma de vectores y multiplicación de un escalar por un vector [3].

Ejemplo1:

Sean los espacios vectoriales

V= {ax2 + bx+ c|a,b,c E R} y W= {(a,b,c)|a,b,c E R

Y la transformación T:V-W definida por T(ax2 + bx + c) = (a + 1,b + c, 0).

Se observa fácilmente que cualquier elemento de V se convierte en un elemento de W, tras aplicarse la transformación T. por ejemplo si V = -2x2 + x -2, al aplicarse la transformación T, se obtiene:

T(-2x2 + x -2) = (-2 + 1,1 -2,0) = (-1,-1,0)

Por lo que el polinomio de V se convirtió en una terna ordenada perteneciente a W.

Ejemplo2:

Sea M2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos con elementos reales, y una transformación H: M2 – M2 que se define como

H (■(a&b@c&d)) = (■(a&b +c@-b &-c d ))

En este caso, la transformación se aplica del mismo espacio. Por ejemplo el vector ẋ = (■(1&-1@0& 1)) se tiene que la transformación obtenida es.

H(■(1&-1@0& 1)) = (■( 1&-1 +0@-(-1)&0 +1)) = (■(1&-1@1& 1))

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a la base de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V-W puede representarse mediante una martriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V Y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conoce una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1,…,vn} y el espacio W tiene una base {w1,…,wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz Am x n.

Si T(vi) = ai1 w1 + …. + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 …. aim)T [4]

Ejemplo3:

Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1,0), (0,1)}.

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