Mediciones E Incertidumbres

MEDICIONES Y CALCULOS DE INCERTIDUMBRES EXPERIMENTALES

INTRODUCCIÓN

El propósito del experimento es aprender a calcular incertidumbres en las mediciones que realizamos en nuestros experimentos y comprobar así que toda medición tiene una incertidumbre o margen de error el cual se pudo hallar por medio de métodos estadísticos y otros no estadísticos.

Para hallar la incertidumbre del periodo de oscilación del péndulo se utilizara un método estadístico que se basa en calcular la desviación estándar de la media y para hallar la incertidumbre de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad (hallada indirectamente con los valores del periodo y de la longitud del péndulo) se utilizara un método no estadístico.

Al final tendremos como resultado el valor aproximado de la aceleración de la gravedad con base en los resultados de nuestros datos.

OBJETIVOS

Conocer el manejo del calibrador vernier y del cronometro.

Evitar los errores sistemáticos en las mediciones directas.

Realizar mediciones de distintas magnitudes físicas: una medición.

Establecer la relación entre las lecturas de un instrumento y los valores indicados por un patrón, bajo condiciones específicas.

Determinar en forma directa las longitudes y masas de pequeños objetos de diversas geometrías con sus respectivas incertidumbres experimentales, registrando los datos con el número apropiado de cifras significativas de acuerdo a la exactitud del instrumento.

Determinar el volumen y la densidad de los objetos en forma indirecta con sus respectivas incertidumbres experimentales, teniendo en cuenta la regla de las operaciones con cifras significativas.

Determinar la aceleración de la gravedad con su respectiva incertidumbre experimental utilizando un péndulo simple.

Asegurar la calidad en los procesos tratando de disminuir el margen de error.

MARCO TEÓRICO.

Las mediciones que se realizan en la ciencia y la ingeniería tienen por objetivo establecer el valor numérico de determinada magnitud. Este valor numérico no corresponde al valor real de la magnitud que se mide porque los resultados que se obtienen en el proceso de medición son aproximados debido a la presencia del error experimental se le conoce como incertidumbre experimental.

Clasificación de errores:

Errores sistemáticos:

Son los que en principio se pueden evitar, corregir o compensar. Se les llama sistemáticos porque dan efectos consistentes, pues cuando están presentes se obtienen valores que son más altos o más bajos que el valor verdadero.

Ejemplos: defectos o falta de calibración de los instrumentos de medición, el error debido al paralaje, etc.

Errores accidentales:

Se deben a la suma de gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se combinan para dar lugar a que la repetición de una misma medición de en cada ocasión un valor algo distinto.

Ejemplos:

Errores de apreciación, como por ejemplo en la estimación de la fracción de la menor división de una escala; errores que fluctúan, como por ejemplo, variaciones en la red de energía eléctrica.

Incertidumbre absoluta (∆x)

Representa los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro de que el valor verdadero se encuentra en dicho intervalo.

Incertidumbre relativa (I_r)

Se define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medio y se expresa así:

I_(r )= ∆x/X_0

Incertidumbre porcentual (I%)

Es el índice que más comúnmente se usa para especificar la exactitud de una medida. Se define como la incertidumbre relativa por 100% es decir:

I_%=I_r.100%

Incertidumbre en medidas directas:

Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición o cuando al hacer una serie de las lecturas se obtiene los mismos resultados para la magnitud a la lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la división más pequeña de la escala del instrumento.

Ejemplo: al hacer una medición de longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros y se obtiene repetidamente la magnitud de 125mm, entonces tomaremos como ∆x=+1 o -1 mm

Por lo tanto el resultado para la longitud será (125+1 o 125-1) mm

Es decir la longitud verdadera del objeto se encontrara dentro del intervalo de 124 mm al 126 mm

Incertidumbre en mediciones indirectas:

Las mediciones que se realiza en la ciencia y en la ingeniería, la mayoría son indirectas y para calcular la incertidumbre de una medida indirecta Z que depende de las variables x, ye, z y w se emplea la siguiente ecuación:

Sea z=f(x, y, w), la incertidumbre experimental absoluta de Z es:

∆z=(δf/δx)∆x+(δf/δy)∆y+( δf/δw)∆w…

Como consecuencia de los errores aleatorios (errores accidentales) hacer repeticiones de una medida estas en general resultan diferentes, y dado que no se conoce la medida verdadera, sur gen dos preguntas: ¿Cuál es el valor que se debe reportar?, ¿Qué incertidumbre es la que se debe asociar al resultado?

Para contestar la primera hay que tener en cuenta que los errores aleatorios provocan en primer lugar que las medidas se distribuyan alrededor de un valor promedio y en segundo lugar que la frecuencia relativa de dichas medidas la describa la curva conocida como curva de gauss

Y

X

De acuerdo con ello, el valor alrededor del cual se distribuye las medidas las medidas es el que se acepta como más probable y con la mejor estimación del valor verdadero. Este valor es la media aritmética:

x_1,x_2,x_3,+⋯+x_n

Donde:

x_1,x_2,x_3,+⋯+x_n = valor de cada lectura

n=numero de lecturas

En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta rigurosa pertenece a la estadística, Se puede asignar como incertidumbre a la desviación absoluta máxima que es simplemente la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturas obtenidas.

En la asignación de la incertidumbre se utilizaban índices de precisión como rango desviación media, desviación estándar, desviación estándar de la media. Dichos índices son medidas de la dispersión de las lecturas obtenidas.

Rango

Se define como la diferencia entre la mayor y la menor de las lecturas que se obtienen al medir una magnitud.

Desviación media

∆x=(∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x)〗)/n=(∑_(i=1)^n▒〖(∆x_i)〗)/n

Desviación estándar (s_x)para un conjunto finito de lectura es:

S_x=(∑_(i=1)^n▒〖(x_1-x)〗)/(n-1)

Al reportar el resultado de una medición como x ± Sx se establece que el 68% de las lecturas se encuentran en dicho intervalo; pero si el resultado se reporta como x ± 2Sx o como x ± 3Sx entonces el 95% y el 99% de las medidas se encuentran respectivamente en dichos intervalos.

Desviación estándar de la media

σm=Sx/√n=√((∑_(i=1)^n▒〖(X_i-X)〗^2 )/(n(n-1)))

CALCULO DE LA DESVIACION ESTANDAR EN MEDICIONES INDIRECTAS

La determinación experimental del valor de ciertas magnitudes físicas como la velocidad la densidad, etc., rara vez se obtiene con métodos de medición directa. Para calcular la desviación estándar de una medida indirecta Z se aplica la siguiente ecuación:

Sea Z= f(x, y, w), entonces

Sz= √(〖(δf/δx)〗^2 S_x^2 )+(〖δf/δy)〗^2 S_y^2+(〖δf/δw)〗^2 S_w^2

Combinación de distintos tipos de incertidumbre.

Sea z=f(x, y)

Donde x= variable con tratamiento estadístico

Y= variable con tratamiento estadístico

La incertidumbre experimental se Z se calcula mediante la siguiente ecuación:

Sz= √((δf/δx)^2 (2/3 ∆x)(〖δf/δy)〗^2 S_y^2 )

Cifras significativas:

Se llama cifra significativa a cada uno de los dígitos (1, 2,3,…., 9, 0) que resultan de hacer una medición o que son producto de cálculos a partir de mediciones. Por ejemplo si en la medición del diámetro de una esfera con un vernier se obtuvo la lectura de 8,43cm se dice que los números 8,4 y 3 son cifras significativas.

En general, el número de cifras significativas de una idea aproximada de la precisión de la magnitud medida. En algunas ocasiones se incluye el resultado de una cifra dudosa (cifra estimada). Ejemplo: se obtiene un Valor de 12,36 cm y 12,4cm.

Si el resultado de una medición, es 0,00321 m, el número de cifras significativas es tres y no cinco o seis, porque los ceros a la izquierda no son significativos. Para evitar confusiones se hace uso de las notaciones de potencias de 10, de tal modo que el resultado se reporta 321x10-5m.

Por otra parte, los ceros de la derecha no se deben escribir si no tienen significado. Para eliminar los dígitos superfluos es conveniente recordar las siguientes reglas:

Si el último digito es menor que cinco, simplemente se elimina. Ejemplo: 7.83 redondeando da 7.8.

Si el último digito es mayor que cinco se elimina y se le suma 1 al último digito que se conserva. Ejemplo: 7.37 redondeando da 7.4

Si el último digito es cinco, el anterior sube si impar y se conserva si es par. Ejemplo: 3.75 redondeando da 3.8.

El digito incierto se debe escribir de menor tamaño y ponerse como subíndice de los otros. Ejemplo: en 7.42 el 2 es un digito incierto.

De la suma o resta de cantidades que tienen

...