Modelacon Matematica Mediante Ecuasiones Diferenciales

1. INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales constituyen una herramienta poderosa y versátil para resolver problemas provenientes de los más diversos horizontes: de la Mecánica a la Biología, de la Electricidad a la Economía, etc.

El primer paso de la resolución de estos problemas es la modelación, es decir la “traducción” en relaciones matemáticas de los aspectos intrínsecos más relevantes de la situación planteada.

En este curso se pretende, a través de casos variados, desarrollar algunas metodologías para el modelado matemático vía las ecuaciones diferenciales.

1.1. Modelación Matemática y Modelación Numérica

El tratamiento matemático de un problema proveniente de otra rama de la ciencia o de la técnica puede resultar un trabajo difícil, pues es la conjunción de dos dominios diferentes: el de los fenómenos que se estudia (físico, biológico, ecológico, económico, etc.) y el de las matemáticas.

El trabajo de resolución de un problema comprende básicamente las siguientes etapas:

1) Determinación de los aspectos cualitativos intrínsecos del problema: elección de un sistema de referencia, de las variables independientes y de las variables desconocidas.

2) Escritura de las ecuaciones. Estas traducen esencialmente las leyes o comportamientos físicos, biológicos, económicos, etc.

3) Transformación y estudio de las ecuaciones obtenidas. Se busca la solución analítica o aproximada de las incógnitas.

4) Interpretación de los resultados matemáticos por comparación con la experiencia.

Entendemos por modelo matemático a la representación aproximada de un fenómeno mediante relaciones matemáticas (generalmente ecuaciones, en nuestro caso ecuaciones diferenciales). Esta aproximación será adecuada si las conclusiones que se pueden extraer tienen una semejanza suficiente con los fenómenos observados. Su formulación corresponde a las fases 1) y 2) mencionadas más arriba.

Es prácticamente imposible que un modelo represente todas las facetas del fenómeno. Por ello insistimos en la necesidad de tomar en cuenta los aspectos más relevantes de la situación planteada Se puede pecar por exceso o por defecto, sea complicándolo innecesariamente (lo que no siempre produce buenos resultados) o simplificándolo abusivamente (lo que puede llevar a tener resultados catastróficos).

En algunas ocasiones un mismo modelo puede ser reformulado facilitando su resolución. Como además de las ecuaciones también intervienen datos en los modelos, inexactitudes en la medición de estos acarrean errores en los resultados.

En la mayoría de los casos no existe una solución analítica del modelo matemático por lo cual hay que pasar a la modelación numérica. Esta constituye otra fuente de inexactitudes y en el contexto del Análisis Numérico se puede establecer cotas de error entre la solución del modelo numérico y la solución exacta del modelo matemático. El modelo matemático sufre una perturbación de carácter numérico ya que las operaciones matemáticas como la derivación o la integración no son exactas.

El modelo numérico por su tamaño o complejidad puede exigir un tratamiento informático lo conlleva una perturbación aritmética, pues la representación de los números reales y de las operaciones aritméticas elementales se hace aproximadamente.

En conclusión, la resolución de un problema por computación numérica, al acarrear en cascada diferentes tipos de errores, rara vez produce una solución exacta.

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