Matematica Ecuaciones Diferenciales

1.- DEFINICIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas.

Otro tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo) que están caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable (x-x0).

Se llama orden de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación.

a) Se dice que una ecuación diferencial (de orden n) está expresada en forma implícita cuando tiene la forma siendo Ω un subconjunto (generalmente abierto) de .

b) Se dice que una ecuación diferencial (de orden n) está expresada en forma explícita cuando tenemos siendo la función definida en el subconjunto D (generalmente abierto) de .

c) Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma

se llama lineal homogénea si además g(x) = 0.

d) Se dice que una función y = φ(x) definida en un intervalo I es solución de una diferencial en el intervalo si, sustituida en dicha ecuación, la reduce a una identidad. Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solución es expresable mediante integrales.

En general, la solución de la ecuación diferencial de orden n dependerá de n parámetros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamétrica de soluciones de una E. D., una sencilla interpretación geométrica nos muestra que también la envolvente de la familia de curvas (si existe) es solución de la E. D.

Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a aquellos en que la ecuación diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer.

• Problema de valor inicial:

Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

• Problemas de valor frontera:

Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida, especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

La función primitiva resultante, o función solución de una ecuación diferencial, puede tener por las condiciones iniciales o de frontera diversos valores, diferenciándose una solución de otra en el parámetro, definiéndose este conjunto de soluciones familia de soluciones de un parámetro (en el caso de existir sólo un parámetro) o familia de soluciones de dos o más parámetros (en el caso de existir más de un parámetro).

1.1 ETAPAS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO

1.1.1 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA CIENTÍFICO:

Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático.

Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema

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