PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS
Enviado por alvaroroqueroque • 23 de Diciembre de 2015 • Prácticas o problemas • 4.480 Palabras (18 Páginas) • 338 Visitas
PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS
Una ecuación diferencial de coeficientes variables de la forma:
// [pic 1][pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
- Se dice que P(x) es analítica, si admite desarrollo en serie de potencias, con un determinado radio de convergencia. Implica que es derivable y continua en todo punto x0 de la región de convergencia.
- Se dice que existe una solución en serie de potencias alrededor de un punto X0, si admite:[pic 5]
[pic 6]
Donde: en un coeficiente recursivo[pic 7]
- Para que admita una serie de potencias alrededor del punto X0 entonces P(x), Q(x)… deben ser analíticas en X0.[pic 8][pic 9]
El punto X0 sobre el cual se desea determinar la solución de una ecuación diferencial se denomina punto crítico y puede ser de dos tipos:
PUNTO ORDINARIO.- Cuando P(x), Q(x)… son analíticos en X0, esto implica que admiten desarrollo en serio de potencias alrededor de X0 (son derivables y continuas en X0).[pic 10]
PUNTO SINGULAR.- Cuando P(x), Q(x)… no son analíticos en X0, por lo cual no existe un desarrollo de potencias en X0.[pic 11]
Ejemplo.- Analizar los puntos críticos de la ecuación
// *x[pic 12]
[pic 13]
El punto crítico es: x=0
es continua y derivable en x=0[pic 14]
es un punto ordinario[pic 15]
Ejemplo.- Analizar los puntos críticos de la ecuación diferencial
// [pic 16][pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Analizando alrededor del X0 = 0
X0 = 0 No es derivable[pic 21]
No es analítica[pic 22]
no es analítico[pic 23]
En x=0 existe un punto singular
Alrededor de X0 =1
Es analítica en X0 =1[pic 24]
es analítico en X0 =1[pic 25]
No es analítico en X0 =1[pic 26]
En X0 =1 existe un punto singular
SOLUCIÓN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS
Cuando X= X0 es un punto ordinario en la ecuación diferencial entonces admite solución de la forma:
[pic 27]
Donde es necesario determinar los coeficientes [pic 28]
Como: [pic 29]
Construyendo las derivadas
[pic 30]
[pic 31]
Derivando nuevamente:
[pic 32]
[pic 33]
Al reemplazar en la ecuación diferencial y manejar los subíndices de las sumatorias para que todas empiecen en un solo valor se encuentran dos ecuaciones en términos de .[pic 34]
- Ecuación recursiva
- Ecuación complementaria
Para ello se debe lograr:
- Igualar potencias de (x-x0)
- Uniformizar los índices de la sumatoria
Otro método alternativo es generar matricialmente la ecuación recursiva.
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial alrededor de X=0
//[pic 35][pic 36]
[pic 37]
Analíticos en x=0 x=0 Punto Ordinario
[pic 38][pic 39][pic 40]
Reemplazando:
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 48][pic 47]
Ecuación Recursiva [pic 49]
[pic 50]
[pic 51][pic 52][pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
Coeficientes pares: [pic 61]
[pic 62]
[pic 64][pic 63]
[pic 65]
FORMA MATRICIAL
Sea la ecuación diferencial:
[pic 66]
Que admite la solución en el punto ordinario x=x0
[pic 67]
Se construye la matriz de la forma:
[pic 68] | [pic 69] | [pic 70] | ||
[pic 71] | [pic 72] | [pic 73] | ||
[pic 74] | [pic 75] | [pic 76] | ||
[pic 77] | ||||
∑ | = 0 | = 0 |
Ejemplo.- Resolver: alrededor de X = 0[pic 78]
[pic 79][pic 80][pic 81]
[pic 82] | [pic 83] | [pic 84] | ||
[pic 85] | [pic 86] | [pic 87] | [pic 88] | [pic 89] |
[pic 90] | [pic 91] | 0 | 0 | [pic 92] |
[pic 93] | [pic 94] | 0 | [pic 95] | [pic 96] |
[pic 97] | [pic 98] | [pic 99] | [pic 100] | [pic 101] |
∑ | = 0 | = 0 |
[pic 103][pic 102]
[pic 104][pic 105][pic 106]
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial alrededor de X0 = 0[pic 107]
Sol: [pic 108][pic 109][pic 110]
...