Modelos de probabilidad Y variables del muestreo

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL

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“TAREA 4 23-2”

        INTEGRANTES                                                                  CÓDIGOS

• DÍAZ GARCÍA, YEMELI BRIGGITTE                                        20221416J
• GONZALES SANTILLAN, SILENE AMAZONAS                     20222535B          
• LOPEZ FLORES, YENIFER CAROLINA                                            20221595A
• VENTURA CABEZA, ALINA LIZET                                          20221512I
• ZAVALETA LANDAURO, GIANELLA                                      20221577C

Lima, Perú

2023

UNI – FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL

Curso: AA232 - Bioestadística

Profesora: Mg. Beatriz Castañeda S.

Tarea 4: MODELOS DE PROBABILIDAD y VARIABLES DEL MUESTREO

1. Se considera que un proceso de producción está bajo control estadístico si la porción defectuosa de la producción es menor o igual a 0.10. Para determinar si el proceso está fuera de control, se han sugerido dos planes:

P1: Se juzga el proceso como fuera de control si se encuentran dos o más unidades defectuosas en una muestra de 25

P2: Se juzga que el proceso está fuera de control si se encuentran dos o más unidades defectuosas en una muestra de 10

Evalué la eficiencia de estos dos planes con respecto a descubrir un  proceso que está produciendo 20% de unidades defectuosas.

Solución:

• Plan P1 (Muestra de 25):

La probabilidad de encontrar dos o más unidades defectuosas en una muestra de 25 se puede calcular utilizando la distribución binomial:

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Donde X sigue una distribución binomial con n = 25 (tamaño de la muestra) y p = 0.20 (probabilidad de defecto).

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El Plan P1 tiene una probabilidad del 61.6% de detectar un proceso fuera de control que produce el 20% de unidades defectuosas.

• Plan P2 (Muestra de 10): 

Podemos calcular la probabilidad de encontrar dos o más unidades defectuosas en una muestra de 10 utilizando la distribución binomial:

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Donde X sigue una distribución binomial con n = 10 (tamaño de la muestra) y p = 0.20 (probabilidad de defecto).

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El Plan P2 tiene una probabilidad del 62.5% de detectar un proceso fuera de control que produce el 20% de unidades defectuosas.

Ambos planes (P1 y P2) tienen una probabilidad similar de detectar un proceso fuera de control que produce el 20% de unidades defectuosas. En este caso, no hay una diferencia significativa en términos de eficiencia entre los dos planes, y ambos tienen una alta probabilidad de detectar un problema en el proceso.

1. El tiempo de atención al usuario, en el Servicio de Información de una biblioteca sigue una distribución exponencial, con un tiempo de servicio medio de 5 minutos. La tasa de usuarios que solicitan el servicio de información es de 1 cada 3 minutos. Calcule la probabilidad de que:

• En este caso, se nos da que el tiempo de servicio medio es de 5 minutos, por lo que   (la tasa es el inverso del tiempo medio).[pic 10]

1.  la atención a un usuario dure más de 10 minutos?

Solución:

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Sustituyendo   :[pic 12]

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1. al bibliotecario no se le solicite servicio de información por un tiempo mayor a 20 minutos.

Solución:

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1. la atención a un usuario dure a lo más 15 minutos y que durante este tiempo lleguen más de 4 usuarios para solicitar el servicio de información.

Solución:

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Ahora, para la probabilidad de que lleguen más de 4 usuarios en 15 minutos, podemos usar la distribución de Poisson, ya que la llegada de usuarios sigue una tasa constante de 1 cada 3 minutos. En 15 minutos, llegan 15 / 3 = 5 usuarios en promedio.

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Donde k sigue una distribución de Poisson con λ = 5. Podemos calcular esto usando la fórmula de Poisson:

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Finalmente, la probabilidad de ambas condiciones se multiplica:

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1. Una compañía fabrica pilas cuya duración tiene distribución normal con una duración media de 800 horas y una desviación estándar de 60 horas.

1. Determine el tiempo de garantía de manera que máximo el 3% de las pilas falle en el periodo de garantía.

Solución:

El tiempo de garantía, t, que garantiza que como máximo el 3% de las pilas falle en el período de garantía se puede encontrar utilizando la tabla Z estándar de la distribución normal. En este caso, estamos buscando el valor de Z tal que P(Z < z) = 0.03, donde z es (x - 800) / 60.

Por lo tanto, Z = -1.88 (basado en la tabla Z estándar).

Luego, podemos resolver para x:

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Entonces, el tiempo de garantía debería ser aproximadamente 687.2 horas.

1. Se selecciona una muestra de 16 pilas de la producción, calcule la probabilidad de que:

b1) A lo más 1 de estas pilas falle en el periodo de garantía.

Solución:

La probabilidad de que a lo sumo 1 de las 16 pilas falle en el período de garantía se puede calcular utilizando la distribución binomial:

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Donde X sigue una distribución binomial con n = 16 y p = 0.03 (probabilidad de falla en el período de garantía).

[pic 25]

Por lo tanto, [pic 26]

b2) La duración promedio de las pilas en la muestra supere las 830 horas.  

Solución:

Para calcular la probabilidad de que la duración promedio de las 16 pilas en la muestra supere las 830 horas, primero calculamos la media de la muestra, que es la misma que la media poblacional (800 horas), y luego calculamos el error estándar de la media:

Error estándar de la media (σM) = σ / sqrt(n)

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Luego, calculamos Z:

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Usando la tabla Z, encontramos P(Z > -2) ≈ 0.9772.

b3) La desviación estándar de la duración de las pilas en la muestra no pase de 50 horas.

Solución:

Para calcular la probabilidad de que la desviación estándar de la duración de las pilas en la muestra no supere las 50 horas, usamos la distribución Chi-cuadrado con n-1 grados de libertad. En este caso, n = 16.

Calculamos el valor Chi-cuadrado crítico para α = 0.05 y 15 grados de libertad:

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Entonces, la probabilidad de que la desviación estándar de la muestra no supere las 50 horas es P(χ² < 24.996), que puedes encontrar en una tabla Chi-cuadrado. Supongamos que es aproximadamente 0.95.

1. Un auditor del SAT utiliza la siguiente regla de decisión para examinar o no todas las declaraciones de impuestos sobre la renta que presenta un despacho contable: toma una muestra aleatoria de 60 declaraciones; si 5% o más indican deducciones no autorizadas, se examinan todas las declaraciones.

1. ¿Cuál es la probabilidad de examinar todas las declaraciones, si realmente el 3% de ellas indican deducciones no autorizadas?

Solución:

En este caso, estamos realizando una prueba de hipótesis. La hipótesis nula (H0) es que el porcentaje de declaraciones con deducciones no autorizadas es menor o igual al 5% (0.05), y la hipótesis alternativa (H1) es que el porcentaje es mayor al 5% (0.05).

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Donde "p" es la proporción real de declaraciones con deducciones no autorizadas.

Para calcular la probabilidad de examinar todas las declaraciones (rechazar H0), dado que realmente el 3% de ellas indican deducciones no autorizadas, necesitamos calcular la probabilidad de observar 5% o más declaraciones con deducciones no autorizadas en una muestra aleatoria de 60 declaraciones, asumiendo que la hipótesis nula es cierta (p ≤ 0.05).

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