Método de raíces múltiples

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SALTILLO

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"Método de raíces múltiples"

Equipo 6

• Escalante Gaytán Rogelio
• Hernandez Muñiz Francisco Guadalupe
• Cristian Cepeda Parra
• Colunga Rosales Marcos

• Rodrigo Sandoval García
• Arturo Rodríguez Álvarez

Catedrática:
María Isabel Piña Villanueva

Aula:
B-21

Clase:
7 a 8

¿Qué es una raíz múltiple?

Existen funciones que cortan en más de una ocasión el eje de las x. A estas funciones las consideramos poseedoras de raíces múltiples, por lo tanto, una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje horizontal x.

Existen ciertas características asociadas a las funciones con raíces múltiples que dificultan el trabajo de los métodos numéricos para la localización de dichas raíces. Se pueden mencionar:

a. El hecho de que una función con número de raíces par puede no cambiar de signo en un cierto intervalo, impide la utilización de métodos cerrados confiables. Es necesario recordar que los métodos abiertos, en ocasiones, divergen.

b. La derivada de la función también se aproxima a cero en la vecindad de la raíz. Los métodos de Newton- Raphson y la secante poseen derivadas en sus denominadores, esto podría ocasionar una división por cero.

c. Se ha demostrado que el método de Newton-Raphson converge en forma lineal cuando hay raíces múltiples.

Como ejemplos, tenemos una raíz doble o triple.

• Una raíz doble resulta de: f(x)= (x-3)(x-1)(x-1)

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La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación sean iguales a cero, esto significa, gráficamente, que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble.

• Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero, como en: f(x)= (x-3)(x-1)(x-1)(x-1)

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La función es tangente al eje en la raíz, pero que en este caso si cruza el eje. La multiplicidad impar de raíces cruza el eje, mientras que la multiplicidad par no lo cruza.

¿Qué es el método de raíces múltiples?

Este método es una corrección a la técnica de Newton-Raphson, dado a que éste sólo garantiza la convergencia en la raíz sí y sólo sí la derivada de la función f(x) nunca se hace cero.

Y ¿por qué recibe el nombre de raíces múltiples?, este método recibe el nombre de raíces múltiples porque permite resolver funciones no lineales que contengan raíces críticas (máximos, mínimos o puntos de inflexión que corten el eje x), es decir, lugares donde simultáneamente la función y su derivada se hagan cero. En estos puntos la raíz se repite y por ello recibe el nombre de raíces múltiple.

Objetivo del método

Este método tiene como objetivo el buscar una raíz de una función a partir de un valor inicial, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo. 

En este caso, encontrar la doble, triple o enésima raíz de la función, ya que, como su nombre lo indica, es el método de raíces múltiples.

Estructura y fórmula

El método de raíces múltiple también es conocido como el método de Newton mejorado, y básicamente su estructura es muy similar excepto de que se debe hallar la segunda derivada y se debe tomar en cuenta la siguiente expresión:

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Pasos del método

Una vez definida la expresión anterior, se procede de una forma similar al método de Newton, teniendo como pasos    

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