METODOS NUMERICOS Exactitud y Raíces de Ecuaciones
lichard31Tarea29 de Septiembre de 2015
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS
Exactitud y Raíces de Ecuaciones
PRESENTADO POR:
HAROLD REGINO VERGARA
Cód. 1.102.807.558
LINA MARCELA OJEDA
1.065.655.492
ARIANNYS ANDREA VEGA USTARIZ
1.067.719.393
LIZARDO JOSE PEREZ
CÓDIGO: 9196845
TUTOR
JOSE ADEL BARRERA
GRUPO
100401_55
SEPTIEMBRE 2015
INTRODUCCION
El presente trabajo se realiza cumpliendo la guía establecida donde se pretende aprender los principales conceptos básicos referentes a procesos matemáticos fundamentales al momento de tomar el curso de Método numéricos. Estos facilitarán la revisión de las actividades posteriores concentradas en los diversos procesos de desarrollo de ecuaciones y diferenciación e integración.
En los puntos realizados a continuación se enfatiza los contenidos que se relacionan con la exactitud y precisión de la medida además de hacer claridad en los diversos tipos de errores.
CONCEPTOS
Error absoluto es igual a la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la sensibilidad del aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco dispersas que resultaron.
Ea=imprecisión=incertidumbre
[pic 2]
El error absoluto nos indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo.
Error Relativo se puede definir como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero
[pic 3]
Esto es,
[pic 4]
Y también se define el error relativo porcentual, como sigue:
[pic 5]
Es decir,
[pic 6]
De hecho el error que más usamos es este último, ya que nos da una idea en tanto por ciento del error que se está cometiendo.
Error relativo Aproximado: [pic 7]
Error por Truncamiento: El error por truncamiento son aquellos que resultan de usar una aproximación en lugar del método matemático exacto, evaluada con la serie de Taylor.
Error por Redondeo: Es el proceso donde se eliminan cifras significativas para tener un valor aproximado
1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.
EJEMPLO 1: Se estima que el área de cierta planta alimentaria es de y su valor exacto en un registro de [pic 8][pic 9]
ERROR ABSOLUTO
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
ERROR RELATIVO
[pic 15]
[pic 16]
ERROR RELATIVO APROXIMADO
[pic 17]
[pic 18]
ERROR POR TRUNCAMIENTO Y REDONDEO
[pic 19]
Para 2 Cifras Significativas
-Por Truncamiento
[pic 20]
-Por Redondeo
[pic 21]
EJEMPLO 2: un operario realiza la medida del ancho de una canasta para embalaje de frutas esta canasta debería medir de ancho 1,25 m y mide 1,21 m.
ERROR ABSOLUTO
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
ERROR RELATIVO
[pic 26]
[pic 27]
ERROR RELATIVO APROXIMADO
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
ERROR POR TRUNCAMIENTO Y REDONDEO
[pic 31]
-Por Truncamiento
[pic 32]
-Por Redondeo
[pic 33]
Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado de 19,999 cm. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000 cm. y 10 cm. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos.
Solución. Tenemos los siguientes resultados:
Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:
[pic 34]
Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:
[pic 35]
En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero.
Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es:
[pic 36]
Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:
[pic 37]
Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o no gravedad del error que se está cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla no es trascendente ya que representa solamente un 0.005% con respecto al valor verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que es del 10% del valor verdadero.
2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.
MÉTODOS | DESCRIPCIÓN |
Método de Bisección | Es el método más simple que se puede emplear para resolver ecuaciones. Sólo requiere que la función sea continua y que hayamos localizado un cambio de signo de la misma en los extremos de cierto intervalo en el que empezaremos a trabajar. Consiste, pues, en la aplicación reiterada del conocido teorema de Bolzano, una vez asegurada la existencia de al menos una solución de la ecuación (ecgen) en el intervalo [pic 38] |
Método de la Regla falsa | En el método de regula falsi se puede partir de las mismas hipótesis que en el de bisección, suponiendo que se verifica el teorema de Bolzano en el intervalo [pic 39]; sólo que ahora el algoritmo para ir aproximando a una de las raíces es ir tomando la correspondiente recta secante a la gráfica en los puntos [pic 40] y [pic 41], [pic 42], y tomar la intersección de ésta con el eje [pic 43] llamemos también [pic 44] a la aproximación de la raíz buscada. |
Método de Newton-Raphson | En este caso se obtiene una sucesión de aproximaciones partiendo de un valor inicial [pic 45], que debe ser dado o elegido convenientemente. Una vez conocida una aproximación, digamos [pic 46], la siguien-te, [pic 47], se obtiene hallando el punto de corte de la correspondiente recta tangente a la curva de ecuación [pic 48] en el punto [pic 49] con el eje [pic 50]. |
Iteración o método iterativo de punto fijo | El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación [pic 51] en la forma [pic 52]. Llamemos [pic 53] a la raíz de [pic 54]. Supongamos que existe y es conocida la función [pic 55] tal que: [pic 56] [pic 57] del dominio. Entonces: [pic 58] |
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