Oscilacion armonica el Movimiento Armónico Amortiguado Forzado es un movimiento oscilatorio que se mantiene como si fuera un Movimiento Armónico Simple.

el Movimiento Armónico Amortiguado Forzado es un movimiento oscilatorio que se mantiene como si fuera un Movimiento Armónico Simple.

La ecuación de movimiento para un M.A.A.F. se expresa con la siguiente ecuación: ma + bv + kx = F0cos(w’t)

m d2x/dt2+ b dx/dt + kx = F0cos(w’t)

Dado que se conoce que la posición en un M.A.A.F. se modela de manera idéntica que en un M.A.S., la solución propuesta a la ecuación de movimiento es: x = Acos(w’t-d)

Dada la propuesta de la solución:

x = Acos(w’t-d)

Se tiene que las derivadas respecto al tiempo son:

dx/dt = -Aw’sen(w’t-d) d2x/dt2 = -Aw’2cos(w’t-d)

Sustituyendo la función de posición y sus respectivas derivadas en la ecuación de movimiento resulta:

-mAw’2cos(w’t-d) – b Aw’sen(w’t-d) + kAcos(w’t-d) = F0cos(w’t)

Al dividir toda la ecuación entre la masa m resulta:

-Aw’2cos(w’t-d) – b/m Aw’sen(w’t-d) + k/m Acos(w’t-d) = F0/m cos(w’t)

Al agrupar constantes se tiene lo siguiente:

g = b/m; w02 = k/m

Sustituyendo las constantes agrupadas se tiene

-Aw’2cos(w’t-d) – gAw’sen(w’t-d) + w02Acos(w’t-d) = F0/m cos(w’t)

Reagrupando términos resutla

-A w’2cos (w’t-d) + w02Acos (w’t-d) – g Aw’ sen(w’t - d) = F0 / m cos (w’t)

(w0 2 A – A w’ 2) cos (w’ t – d) – g Aw’ sen (w’t - d) = F0 /m cos (w’t)

A[(w02 - w’ 2) cos (w’t - d) – gw’ sen (w’t-d)] = F0 /m cos (w’t)

Recordando las identidades trigonométricas siguientes

cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B)

sen(A-B) = sen(A)cos(B) - cos(A)sen(B)

Aplicando dichas identidades a la ecuación obtenida, se tiene:

A [(w02 - w’2) cos(w’t - d) – gw’ sen (w’t - d) ] = F0 / m cos (w’ t)

A[(w02 – w’ 2) {cos (w’t) cos(d) + sen (w’t) sen(d) } – gw’ {sen(w’ t) cos (d) – cos (w’t) sen(d) } ]

= F0 /m cos(w’t)

Comparando los coeficientes, resultan las siguientes ecuaciones:

A[{(w0 2 – w’ 2 ) cos(d) + gw’ sen(d)} cos (w’t) + {(w0 2 - w’ 2 ) sen(d) – gw’ cos(d)} sen(w’t)]

= F0/m cos (w’t)

A[(w0 2 - w’ 2 ) cos(d) + gw’ sen (d) ] = F0 /m ………(1)

A[(w0 2 - w’ 2)sen(d) – gw’ cos(d)] = 0 ……… (2)

De la ecuación (2), se obtiene la siguiente expresión:

A [(w0 2 - w’ 2 ) sen(d) – gw’cos(d) ] = 0 ……… (2)

(w0 2 - w ’2)sen(d) = gw’ cos(d)

sen(d)/cos(d) = gw’/(w0 2 – w’ 2)

tan(d) = gw’/(w0 2 - w’ 2)

Recuerde que w0 es la frecuencia natural del sistema oscilante y w’ es la frecuencia de la fuerza aplicada al sistema.

Ahora veamos cómo se comporta el valor de la constante de fase entre la posición de la masa oscilante y la fuerza aplicada en tres casos de valores para la frecuencia de la fuerza aplicada:

cos(d) = (w0 2 - w’ 2 ) / [(w0 2 - w’ 2 ) 2 + g 2 w’ 2] ½

Caso I: La frecuencia de la fuerza es muy pequeña (tiende a 0)

w’→0 ⇒ cos (d) → w0 2/w0 2 = 1 ⇒ d → 2np, n ∈ ℕ ⇒ d → 0

Caso II: La frecuencia de la fuerza es muy grande (tiende a ∞)

w’→∞ ⇒ cos(d) → -w’ 2/w’ 2 = -1 ⇒ d → (2n-1)p, n ∈ ℕ ⇒ d → p

Caso III: La frecuencia de la fuerza es muy similar a la frecuencia natural del oscilador (tiende a w0)

w’→w0 ⇒ cos(d) → 0/ g w0 = 0 ⇒ d → (n/2)p, n ∈ ℕ ⇒ d → p/2

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