OSCILACIONES Y ONDAS MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

OSCILACIONES Y ONDAS

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Ejemplos de movimiento armónico simple pueden ser:

- Una lámina fija por un extremo y haciéndola vibrar por el otro extremo.

- Un sistema formado por un cuerpo suspendido de un resorte.

- El movimiento de un péndulo para desplazamientos pequeños.

- Un líquido contenido en un tubo doblado en U.

- Una esferita en una superficie cóncava.

- Una cuerda tensa.

En un movimiento armónico simple, el período y la frecuencia son independientes de la amplitud.

Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple.

Para deducir las fórmulas del movimiento armónico simple, se toma como apoyo el movimiento circular uniforme que origina el M.A.S, sobre uno de los diámetros, teniendo en cuenta que los dos movimientos tienen el mismo período (T) y que la amplitud del M.A.S, es igual al radio del MCU.

Los vectores , , etc del movimiento circular uniforme se descompone en dos componentes perpendiculares; con el objeto de formar triángulos rectángulos, pues para cálculos posteriores, tanto en la semejanza de triángulos como la definición de las funciones trigonométricas facilitan mucho los cálculos. La única condición es que una de las componentes sea paralela a la trayectoria del M.A.S, pues esta componente es el vector correspondiente a dicho movimiento.

También es importante indicar desde donde se empieza a contar el inicio del movimiento, si desde el centro de la trayectoria o desde uno de los extremos. Si se estudia el M.A.S. contando a partir de un extremo de trayectoria y luego se estudia a partir del centro de la trayectoria encontrarás las fórmulas cambiadas, generalmente donde hay un coseno, encontrarás un seno y viceversa pues hay un desfase de 90º.

Las expresiones que definen el movimiento son: la posición (elongación), la velocidad y la aceleración. La aceleración varía constantemente por el movimiento de vaivén que hace que cambie su sentido constantemente. El módulo de la aceleración depende de la posición a = f( x).

La posición en el M.A.S.

Una partícula P que se mueve en sentido contrario al de las agujas del reloj, con una rapidez lineal constante V sobre el borde de un círculo de centro 0 y de radio R, siendo la velocidad angular de la partícula constante. Si en un momento to = 0 está en el punto Po, donde el radio vector en dicha posición tiene una abertura o respecto al diámetro (que coincide con la dirección del eje X), en un momento  diferente de cero estará en el punto P , para dicho momento el ángulo tiene el valor .t. Se toma en consideración el punto P' , que es la proyección P sobre el diámetro . Conforme P se mueve en torno a la circunferencia, el punto P' se mueve con M.A.S, de acuerdo con lo establecido:

En función de un sistema de coordenadas con el origen en O y con el eje X a lo largo del diámetro , la coordenada de este punto P' es:

x(t) = R.cos (.t + o ); Como R es igual a la amplitud A, ya que es la mayor elongación la anterior ecuación se puede escribir:

Se puede hacer una representación gráfica para obtener la posición de la partícula en un tiempo t. Con un o= 0º.

La elongación es máxima cuando el móvil está en cualquiera de los extremos de la trayectoria y es nula cuando el móvil está en el centro.

Cuando la fase aumenta en 2 desde su valor en el instante t, la partícula tiene de nuevo la misma posición que en el instante t puesto que cos ( 2 + 2) = cos a. Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2, la partícula realiza un ciclo completo.

La Velocidad en el M.A.S.

Sea , la velocidad de la partícula en el punto p, con MCU. Al descomponer dicha velocidad en sus componentes rectangulares se obtiene y , la primera es la velocidad de P' a lo largo del diámetro ; es decir, es la proyección de la velocidad de P en el diámetro . Por teorema de geometría vemos que el ángulo a formando por y es igual al ángulo formado por y (sus lados son perpendiculares entre sí), luego si fijas la atención en el triángulo formado por , y , por trigonometría se obtiene: V = . Sen

Se sabe que la velocidad lineal = .R (R=A), pero la amplitud es igual al radio del círculo y que además a (.t + o) permite escribir la ecuación de la siguiente manera: V (t) = - .A.sen(.t +o) la cual da la velocidad en función del tiempo V= f (t), para cualquier M.A.S y nos indica que el valor máximo de la velocidad ocurre cuando (w.t +ao) = 90º y esto sucede cuando la elongación es cero, es decir, cuando pasa por la posición de equilibrio. El signo (-) expresa el sentido del vector .

En efecto, cuando a pertenece al primero o segundo cuadrante, el vector estará dirigido en el sentido negativo del eje X. En cambio, cuando a pertenece al tercero o cuarto cuadrante, el vector estará dirigido en el sentido positivo del eje X.

Dicha ecuación se puede escribir, en función del Período y de la frecuencia, de la manera siguiente:

Se puede hacer una representación gráfica para obtener la velocidad de la partícula en un tiempo t. Con un o= 0º.

En el centro de la trayectoria ( = 90º y  = 270º) la velocidad es máxima y en los extremos de la trayectoria (  = 0º y  = 180º), la velocidad es nula.

La velocidad también se puede expresar en función de la elongación:

La aceleración en el M.A.S.

Para deducir la ecuación de la aceleración (t) se utiliza la proyección del movimiento circular en el diámetro .

Sea la aceleración centrípeta de la partícula en el punto P con MCU al descomponer dicha aceleración en sus componentes rectangulares se obtiene y , esta última es la aceleración de P' a lo largo del diámetro , o sea, la proyección de la aceleración de P en dicho diámetro. Se observa que el ángulo del vértice

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