PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])

Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.

Esquemáticamente se busca lo siguiente:

Originalmente se tenía:

Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.

PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU

Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.

Resolver Ly = b (para encontrar y).

El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".

Realizar Ux = y (para encontrar x).

El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU

PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.

SOLUCIÓN:

4

- 2

- 1

9

[A] =

5

1

- 1

[B] =

7

1

2

- 4

12

ITERACIÓN 1

factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25

factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25

Encontrando [U]

fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)

fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)

a11 = a11

a12 = a12

a13 = a13

a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0

a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5

a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25

a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0

a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5

a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

4

- 2

- 1

[U] =

0

3.5

0.25

0

2.5

- 0.75

Encontrando [L]

1

0

0

[L] =

1.25

0

0

0.25

0

0

ITERACIÓN 2

factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143

Encontrando [U]

fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)

a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0

a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0

a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286

4

- 2

- 1

[U] =

0

3.5

0.25

0

0

- 0.9285714286

Encontrando [L]

1

0

0

[L] =

1.25

1

0

0.25

0.7142857143

1

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver

Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

La solución del sistema es:

Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU.

EJEMPLO 2 DE DESCOMPOSICIÓN LU

PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

SOLUCIÓN:

11

- 3

- 2

18

[A] =

5

- 2

- 8

[B] =

13

4

- 7

2

2

ITERACIÓN 1

factor 1 = (a21 / a11) = 5/11 = 0.4545454545

factor 2 = (a31 / a11) = 4/11 = 0.3636363636

Encontrando [U]

fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)

fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)

a11 = a11

a12 = a12

a13 = a13

a21 = - (0.4545454545) * (11) + (5) = 0

a22 = - (0.4545454545) * (- 3) + (- 2) = - 0.6363636365

a23 = - (0.4545454545) + (- 2) + (- 8) = - 7.0909090919

a31 = - (0.3636363636) * (11) + (4) = 0

a32 = - (0.3636363636) * (- 3) + (- 7) = - 5.909090909

a33 = - (0.3636363636) * (- 2) + (2) = 2.7272727272

11

-3

-2

[U] =

0

- 0.6363636365

- 7.0909090919

0

- 5.909090909

2.7272727272

Encontrando [L]

1

0

0

[L] =

0.45454545

0

0

0.36363636

0

0

ITERACIÓN 2

factor 3 = (u32/u22) = - 5.909090909 / - 0.6363636365 = 9.285714284

Encontrando [U]

fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)

a31 = - (9.285714284) * (0) + (0) = 0

a32 = - (9.285714284) * (- 0.6363636365) + (- 5.909090909) = 0

a33 = - (9.285714284) * (- 7.0909090919) + (2.7272727272) = 68.57142857

11

- 3

- 2

[U] =

0

- 0.6363636365

- 7.0909090919

0

0

68.57142857

Encontrando [L]

1

0

0

[L] =

0.4545454545

1

0

0.3636363636

9.285714284

1

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver

Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

La solución del sistema es:

Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de

...