PREPARADOR DE MATEMÀTICAS

INSTITUCION EDUCATIVA 20 DE JULIO

PREPARADOR DE MATEMÀTICAS

LUIS FERNANDO LARA PERALTA

2012

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Es la expresión que nos dice que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos:

1. a + b = b + a
2. 3x + 5 = 10

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Una IDENTIDAD es una igualdad que se verifica   para cualquier valor de las letras que entran en ella. Ejemplos:

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. x2 – y2 = (x + y)(x – y)
3. a + b = b + a

Una ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Ejemplos:

1. 5x + 2 = 17 es una ecuación que se verifica para    x = 3, ya que 5 x 3 + 2 = 17

Si damos a x otro valor distinto de 3, la igualdad no se verifica.

1. x2 – 4 = 0 es una ecuación que se verifica para       x = 2  y  x = – 2, ya que 22 – 4 = 4 – 4 = 0 y            (–2)2 – 4 = 4 – 4 = 0

 Los miembros de una ecuación o identidad son las expresiones que se encuentran a ambos lados del signo igual[pic 5]

 ( = ).

La expresión que está a la izquierda, es el primer miembro; la expresión que está a la derecha, es el segundo miembro. Ejemplo:

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• Ecuación entera: Es la ecuación en la que ninguno de sus términos tiene denominador. Ejemplos:

7x + 4y = 8x + 1

• Ecuación fraccionaria: Es la ecuación en la que algunos o todos sus términos tienen denominador. Ejemplo:  [pic 8]  + 6x = 5 + [pic 9]
• Ecuación numérica: Es la ecuación en que las únicas letras que contiene son las incógnitas. Ejemplos:

1.  4x – 5 = x + 4           2. 2x + 4y = 20

• Ecuación literal: Es una ecuación, donde además de las incógnitas aparecen otras letras que representan cantidades conocidas. Ejemplo:

3x + 2a = 5b – bx

En las ‘ecuaciones con una sola incógnita’ el GRADO de la ecuación corresponde al mayor exponente que tenga la incógnita. Ejemplos:

1. 4x – 6 = 3x + 1  → Ecuación de primer grado
2.  x2 – 5x + 6 = 0 → Ecuación de segundo grado
3. x3 – 2x + 3 = 0  → Ecuación de tercer grado

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“Si en una ecuación se realizan operaciones iguales en ambos miembros, los resultados serán iguales”.

De este axioma se derivan las siguientes propiedades de las ecuaciones:

1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta una misma cantidad, la igualdad subsiste.
2. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por una misma cantidad, diferente de cero, la igualdad subsiste.
3. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

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La transposición de términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro.

• “Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo”.

Ejemplos:

1. 5x  = 2a – b   ⇒  5x + b = 2a
2. 3x + 2y = 10  ⇒  3x = 10 – 2y

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Se llaman raíces o soluciones de una ecuación a ‘los valores de las incógnitas’ que verifican la ecuación. Ejemplos:

1. 5x – 6 = 14 ⇒ La raíz o solución es x = 4
2. x2 – 9 = 0 ⇒ Las raíces o soluciones son x = 3 y    x = –3

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PASOS:

1. Se eliminan los signos de agrupación, si los hay.

1. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro, todas las cantidades conocidas.

1. Se reducen los términos semejantes en cada miembro

1. Se despeja la incógnita, enviando el coeficiente a dividir al otro miembro.

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Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 3x – 5 = x + 3        
2. 5x + 6 = 10x + 5
3. 9y – 11 = – 10 + 12y
4. 11x + 5x – 1 = 65x – 36
5. 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14
6. 35 – 22x + 6 – 18x = 14 – 30x + 32
7. 8x + 9 – 12x = 4x – 13 – 5x
8. 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y
9. 16 + 7x – 5 + x = 11x – 3 – x
10. 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100
11. 8x – 15 x – 30x –51x = 53x + 31x – 172
12. x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3)
13. 15x – 10 = 6x – (x + 2) + (– x + 3)
14. (5 – 3x) – (– 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)
15. 30x – (–x + 6) + (–5x + 4) = –(5x + 6) + (– 8 + 3x)
16. 3x + [–5x – (x + 3)] = 8x + (–5x – 9)
17. 16x – [3x – (6 – 9x)] = 30x + [3x + 2 – ( x + 2)]
18. x – [5 + 3x –{5x – (6 + x)}] = – 3
19. 9x – (5x + 1) – {2 + 8x – (7x – 5)} + 9x = 0
20. – {3x + 8 – [– 15 + 6x – (– 3x + 2) – (5x + 4)] – 29} = – 5

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Resolver las siguientes ecuaciones:

1. x + 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3)
2. 5(x – 1) + 16(2x +3) = 3(2x – 7) – x
3. 2(3x + 3) – 4(5x – 3) = x(x – 3) – x(x + 5)
4. 3x(x – 3) + 5(x + 7) – x(x + 1) – 2(x2 + 7) + 4 = 0
5. (3x – 4)(4x – 3) = (6x – 4)(2x – 5)
6. (4 – 5x)(4x – 5) = (10x – 3) (7 – 2x)
7. (x – 2)2 – (3 – x)2 = 1
8. (x – 2)2 + x(x – 3) = 3(x +4)(x – 3)–(x + 2)(x–1)+ 2
9. 7(x – 4)2 – 3(x + 5)2 = 4(x + 1)(x – 1) – 2
10. 14x – (3x – 2) – [5x + 2 – (x – 1)] = 0
11. (x + 1)3 – (x – 1)3 = 6x(x – 3)
12. x2 – {3x + [x(x + 1) + 4(x2 – 1) – 4x2]} = 0
13. 6x – (2x + 1) = – {– 5x + [– (–2x – 1)]}
14. (3x – 7)2 – 5(2x + 1)(x – 2) = – x2 – [– (3x +1)]

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Para ‘suprimir los denominadores’, se realizan en cada miembro las operaciones indicadas y luego se aplica las propiedad fundamental de las proporciones. Ejemplo:

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