PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Si tenemos un conjunto de soluciones de ED homogénea de n-ésimo orden, [pic 1]

Entonces la combinación lineal de esas soluciones también es solución de la ecuación diferencial.

[pic 2]

Ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial    se tiene que las siguientes funciones son soluciones de esa ED       en el intervalo (0 , +oo)[pic 3][pic 4]

A partir de esas dos soluciones podemos tener que la función:

[pic 5]

También es solución de la ecuación diferencial indicada.

CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES EDS

Cualquier conjunto de n soluciones  ,  de una ecuación diferencial lineal homogénea, que sea linealmente independiente en un intervalo I, entonces ese conjunto constituye “el conjunto fundamental de soluciones” de la ecuación diferencial en ese intervalo.  [pic 6]

Ahora, la superposición de ese conjunto fundamental de soluciones es la “solución general” de la Ecuación diferencial lineal homogénea (EDLH)    

Para poder saber si un conjunto de funciones es linealmente independiente podemos usar lo que se conoce como “WRONSKIANO”, que es el determinante de una matriz que contiene en su primera fila como elementos todas las funciones, en su segunda fila todas las primeras derivadas de esas funciones, en la tercera fila la segunda derivada y así sucesivamente hasta la última fila en la que tenemos la derivada un orden menor al número de funciones que se tienen, de la siguiente forma.

[pic 7]

Si el “WRONSKIANO” es diferente de cero quiere decir que el conjunto de funciones es linealmente independiente.

Si ese WRONSKIANO  es igual a cero quiere decir que el conjunto no es linealmente independiente.

Ejemplo: Tenemos la siguiente EDLH        [pic 8]

           tiene como soluciones el conjunto      [pic 9]

Vamos comprobar si ese conjunto de soluciones es linealmente indep, usamos el Wronskiano, para esto debemos calcular las primeras derivadas de esas dos soluciones:

[pic 10]

Entonces tenemos:  

[pic 11]

Entonces esas dos soluciones constituyen un conjunto fundamental de soluciones y su superposición es la solución general de la  EDLH

      solución general[pic 12]

Ejemplo: tenemos la siguiente EDLH  [pic 13]

Y tenemos el siguiente conjunto de soluciones de esta ecuación:

[pic 14]

Vamos a comprobar si a partir de esas soluciones podemos encontrar la solución general de esa EDLH.

Se debe comprobar que ese conjunto de soluciones sea Lin-ind, Para eso usamos el Wronskiano.

Necesitamos la primera y la segunda derivada de las soluciones que nos dan.

[pic 15]

Calculamos el Wronskiano:

[pic 16]

Ese resultado para ningún valor de  es igual a cero, eso quiere decir que ese conjunto de soluciones es un conjunto fundamental de soluciones, con esto la solución de la EDLH es:[pic 17]

[pic 18]

REDUCCIÓN DE ORDEN.

Si tenemos dos funciones que son linealmente dependientes por ejemplo  quiere decir que se puede escribir una de esas funciones como combinación lineal de la otra, es decir podemos tener que:[pic 19]

        si dividimos esas dos ecuaciones nos queda entonces que:   [pic 20][pic 21]

Si las funciones son linealmente independientes al hacer esto mismo el resultado es una función no una constante como en el caso anterior. Entonces si conocemos una de las soluciones de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, podemos encontrar la otra solución a partir de:

[pic 22]

Y trabajando con esa sustitución podemos hallar esa otra solución.

Por ejemplo si tenemos que   es solución de   [pic 23][pic 24]

Queremos encontrar la otra solución a partir de esto.

Podemos decir que:   [pic 25]

Con esto  podemos calcular las derivadas de     [pic 26]

        [pic 27]

Ahora esto lo reemplazamos en la ecuación diferencial: [pic 28]

Nos queda:

[pic 29]

 Finalmente nos quedó que:

[pic 30]

Como nunca va a ser igual a cero entonces:[pic 31]

[pic 32]

Nos queda una EDLH de  segundo orden para  [pic 33]

Para poderla solucionar usamos un cambio de variable:   [pic 34]

Con esto   La ecuación diferencial nos queda entonces:[pic 35]

[pic 36]

Nos quedó una ecuación diferencial de primer orden lineal, en este caso [pic 37]

Calculamos el factor integrante:

[pic 38]

La solución de esta ecuación es:

[pic 39]

Ahora podemos encontrar   como tenemos que , Entonces  nos queda[pic 40][pic 41][pic 42]

[pic 43]

Finalmente podemos encontrar la otra solución  que estábamos buscando:[pic 44]

Como:  entonces [pic 45][pic 46]

La solución nos queda:

      esta constituye la solución general de la EDLH[pic 47]

Si hacemos       y     con esto nos queda que [pic 48][pic 49][pic 50]

Ejemplo:   dada la ecuación diferencial     hallar la otra solución [pic 51][pic 52]

Utilizamos   entonces  [pic 53][pic 54]

Ahora hallamos sus derivadas.

[pic 55]

[pic 56]

Ahora reemplazamos en la ED

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

Dividimos entre :[pic 60]

[pic 61]

Ahora hacemos   con esto  , nos queda:[pic 62][pic 63]

[pic 64]

Solucionamos esa ecuación lineal, en este caso  [pic 65]

Ahora hallamos

[pic 66]

Con esto ahora hallamos la solución de [pic 67][pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

Como sabemos que: , entonces podemos hallar u[pic 71]

[pic 72]

  [pic 73]

Finalmente como  Entonces:[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

Como la solución  entonces la otra solución es  [pic 78][pic 79]

ED DE SEGUNDO ORDEN, HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Estas ecuaciones son de la forma:

[pic 80]

Asociada a esta ecuación diferencial se tiene una ecuación auxiliar, que contiene las raíces que nos ayudan a construir nuestras soluciones; de la forma:

[pic 81]

Siendo , las raíces de nuestra ecuación auxiliar.[pic 82]

Las raíces las podemos calcular a partir de la fórmula cuadrática, de la siguiente forma:

[pic 83]

Se tienen entonces 3 posibilidades para esos valores de [pic 84]

1)   sean reales y diferentes  si   [pic 85][pic 86]

2)  sean reales e iguales si [pic 87][pic 88]

3)   sean raíces complejas conjugadas  si  [pic 89][pic 90]

Si tenemos el caso 1 (raíces reales diferentes)

La solución general de la ecuación diferencial es:    [pic 91]

Si tenemos el caso 2 (raíces reales e iguales)

La solución general de la ecuación diferencial es:  [pic 92]

Si tenemos el caso 3 (raíces complejas conjugadas)

En este caso las raíces son de la forma:  [pic 93]

La solución general de la ecuación diferencial es:  

[pic 94]

Ejemplo: solucionar la siguiente ecuación diferencial:

[pic 95]

Solución: Primero escribimos la ecuación auxiliar asociada:   [pic 96]

Hallamos ahora las raíces:    Usamos las fórmula cuadrática.

[pic 97]

[pic 98]

Entonces las raíces son:  [pic 99]

Con esto la solución de la ecuación diferencial es:

[pic 100]

Ejemplo: Solucionar la siguiente ED   [pic 101]

Solución:

Tenemos que    solucionamos esto para encontrar las raíces:[pic 102]

 Factorizando:

[pic 103]

[pic 104]

Con esto [pic 105]

Entonces la solución general nos queda:

...