PROBABILIDAD

MÁS EJERCICIOS SOBRE SUCESOS Y PROBABILIDAD

SUCESOS

Ejercicio 1-1:

Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a. Lanzar tres monedas.

b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Solución:

a. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:

E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}

b. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E={BB,BN,NN}

d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

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Ejercicio 2.1-1:

Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?

Solución:

Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:

E={(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)}

Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:

A={(HHH),(HHV),(HVH),(HVV)}

B={(VVV),(HVV)}

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Ejercicio 2.1-2:

Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:

a. Calcula los sucesos y .

b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.

c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Solución:

Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:

A = {2,3,5,7}

B = {1,4,9}

A partir de estos conjuntos, tenemos:

1. La unión e intersección de A y B son:

= {1,2,3,4,5,7,9}

= Ø

2. Al ser = Ø, los sucesos A y B son incompatibles.

3. El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9}

El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}

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Numeramos con 1, 2, 3 y 4 las cuatro caras alargadas de una regleta.Dejamos caer la regleta y anotamos el número de la cara superior.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Escribe un suceso elemental y tres no elementales.

c) ¿Cuántos sucesos tiene esta experiencia?

a) E = {1, 2, 3, 4}

b) Elementales . {1}, {2}, {3}, {4}

No elementales . {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4},

{2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø}

c) 24 = 16 sucesos

REGLA DE LAPLACE Y PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE SUCESOS

Ejercicio 3.2-1:

En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS

Solución:

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Ejercicio 3.2-2:

En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:

P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.

a. ¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.

b. ¿Cuántas cartas hay?

Solución:

a. P( ni REY ni BASTOS )=P( ) P( REY BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4

P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY BASTOS )

Sustituyendo:

0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY BASTOS ) P( REY BASTOS ) = 0.05

Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:

P( REY de BASTOS ) = P( REY BASTOS ) = 0.05 = 1/20

b. Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.

Ejercicio 3.2-3:

Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:

a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

Solución:

El espacio muestral del experimento es:

E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}

y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.

Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:

a. Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:

A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.

Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3

b. Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:

B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}.

Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3

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Ejercicio 3.2-4:

En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?

Solución:

Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.

Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:

Los casos favorables son 15 • 30 • 45 = 20 250. Éstas son las formas de agrupar tres bolas de distinto color. La probabilidad pedida es:

P(tres bolas de distinto color) = 0.1724

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Ejercicio 3.2-5:

Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:

a. Que las dos cifras sean iguales.

b. Que su suma sea 11.

c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13.

Solución:

El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:

a. Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es:

P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1

b. Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto,

P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08

c. Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:

P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43

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Ejercicio 3.2-6:

Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a. La suma de los números aparecidos sea menor que 8.

b. La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

Solución:

Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666.

Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:

a.

b.

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PROBABILIDAD CONDICIONADA

Ejercicio 4-1:

Se lanzan dos dados:

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?

b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres?

Solución:

Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres".

a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6

b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3

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