Pasos para probar una afirmación con inducción matemática

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Pasos para probar una afirmación con  inducción matemática

por Doctorante en T.I.: Romel Hernández Rosales

Pasos para probar si la afirmación o fórmula es correcta ∀ número natural ε Ν (∀ significa “para todo”), sin evaluar cada valor, debemos usar otro método, debido a que nunca terminaríamos, pues la cantidad de números naturales Ν es infinita (1,2,3,4,5,6,..., 1000, 1001, ....1000103, 1000104,...+∞). Lo probaremos con la inducción matemática  Por ejemplo, sea la fórmula:

1*3 + 3*32+5*33+...+(2*n-1)*3n = (n-1)* 3n+1 + 3

Paso #1: Probar si la fórmula  se cumple el lado izquierdo para el primer término del lado derecho de la igualdad, o sea cuando n = 1

#1.1  De este lado izquierdo tenemos que el primer término es  1*3  = 3

#1.2  y el lado derecho evauado con n=1:  (1-1)*31+1 + 3 = 0*32 + 3 = 0 + 3 = 3

#1.3  Como el lado izq. y derecho son iguales, ya la fórmula es válida para n = 1 y seguir.

Paso #2: Suponer que con n=k es válida la fórmula y expresarla para ambos lados: izq. y derecho

1*3 + 3*32+5*33+...(2*k-1)*3k  =  (k - 1)* 3k+1 + 3    // esta es la evaluación en n=k

Paso #3: Ahora hay que determinar para el siguiente término, o sea n=k +1 si realmente es válida la fórmula:       1*3 + 3*32+5*33+...+(2*n-1)*3n = (n-1)* 3n+1 + 3

   #3.1 Agregar al lado izquierdo del paso #2, el último término de la fórmula evaluada en k+1

  #3.1.1  O sea, el último término en el lado izquierdo es (2*n-1)*3n evaluada en n=k+1 consiste en reemplazar a la n por k+1, esto es:  (2*(k+1)-1) * 3k+1

     #3.1.2 Al añadirlo, tenemos con n=k más n=k+1 pero le falta completar el lado derecho:

1*3 + 3*32+5*33+...(2*k-1) * 3k + (2*(k+1)-1) * 3k+1 =  (k-1) * 3k+1 + 3

   #3.2 Sumar al lado derecho evaluado en n=k, el término de lado derecho de fórmula en k+1

#3.2.1 Tenemos en el lado derecho del ejemplo:  (k-1)* 3k+1 + 3 + (2*(k+1)-1) * 3k+1 

#3.3 Simplificar lo anterior, que se obtuvo al añadir al lado derecho de n=k, la fórmula en k+1

       (k-1)* 3k+1 + 3 + (2*(k+1)-1) * 3k+1 

= (k-1) * 3k+1 + 3 + (2k+2-1) * 3k+1   

= (k-1) * 3k+1 + 3 + (2k+1) * 3k+1  //(1)  esta la suma de n=k más n=k+1 ya simplificada

  #3.4 Se evalúa el lado derecho de la fórmula en n=k+1

#3.4.1 Recuerde que la fórmula es  1*3 + 3*32+5*33+...+(2*n-1)*3n = (n-1)* 3n+1 + 3 ) 

  - Y su lado derecho es: (n - 1)*3n+1 + 3

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