Polinomio - matematicas

Polinomio En matemáticas, un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemáticopara aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

Índice

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• 1Definición algebraica

• 1.1Polinomios de una variable
• 1.2Polinomios de varias variables
• 1.3Grado de un polinomio

• 2Operaciones con polinomios
• 3Funciones polinómicas

• 3.1Ejemplos de funciones polinómicas

• 4Factorización de polinomios
• 5Historia
• 6Véase también
• 7Referencias
• 8Enlaces externos

Definición algebraica[editar]

Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.

Polinomios de una variable[editar]

Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como [pic 1] o [pic 2], en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y [pic 3], entonces un polinomio [pic 4] de grado n en la variable x es un objeto de la forma

[pic 5] [pic 6]

Un polinomio [pic 7] no es más que una sucesión matemática finita [pic 8] tal que [pic 9].

Representado como:

[pic 10]

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

[pic 11]

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables[editar]

Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:

(2)[pic 12]

Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.

Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

[pic 13]

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

[pic 14]

En detalle el último de ellos [pic 15] es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.

Grado de un polinomio[editar]

Artículo principal: Grado (polinomio)

Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.

P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.

P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.

P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como [pic 16].

En particular los números son polinomios de grado cero.

Operaciones con polinomios[editar]

Artículo principal: Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios: [pic 17] y [pic 18], entonces el producto es:

[pic 19] [pic 20] [pic 21] [pic 22] [pic 23]

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

[pic 24] [pic 25] [pic 26]

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

[pic 27] [pic 28] [pic 29] [pic 30]

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios [pic 31] y [pic 32] y el polinomio producto [pic 33]:

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