Principios de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas

Principios de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas

• Principio de la fuerza y cantidad de movimiento lineal

 Primero se muestra que la suma de las fuerzas externas sobre un sistema de partículas y este es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total. Entonces, siguiendo la segunda Ley de Newton; la fuerza total sobre la i-ésima partícula es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal:

[pic 1]

vi = dri > dt es la velocidad de la i-ésima partícula.  En  cada partícula del sistema se escribe esta ecuación y sumando desde i = 1 hasta N

[pic 2]

 Como nos dice la  tercera ley de Newton (fij + fji = 0), este término es igual a cero:

[pic 3]

La suma de las fuerzas externas sobre el sistema es ell segundo término del lado izquierdo de la ecuación. Concluimos entonces que la suma de las fuerzas externas es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total:

[pic 4]

1. Es m la suma de las masas de las partículas:

[pic 5]

3. Entonces la velocidad del centro de masa es:

[pic 6]

2. La masa del sistema tiene la posición en el centro  de esta forma:

[pic 7]

4. Usando esta expresión, se puede escribir la ecuación de esta manera:

[pic 8]

Podemos ver que el producto de la masa total por la aceleración del centro de masa es igual a

la fuerza externa total.

•  Principios del momento y la cantidad de movimiento angular

De la segunda ley de Newton, se toma el producto cruz  para la i-ésima partícula, por el vector de posición ri y la suma desde i = 1 hasta , poniendo la ecuación que da como resultado de esta  forma:

[pic 9]

La suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por las demás partículas del sistema es el primer término del lado izquierdo en esta ecuación . El segundo término es la suma de los momentos respecto a O debido a las fuerzas y pares externos. Entonces:

[pic 10]       donde       [pic 11]

es la cantidad de movimiento angular total respecto a O que nos da. La sumatoria de los momentos respecto a O es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular total respecto a O. Con dichas ecuaciones  se puede escribir la ecuación:

[pic 12]   en  donde   [pic 13]

es la cantidad de movimiento angular total del sistema respecto al centro de masa. También es importante determinar la relación entre la suma de los momentos respecto al centro de masa del sistema, que se representa con M, y H.  Estas cantidades de movimiento angulares correspondientes al punto O y respecto al centro de masa están relacionadas por:  HO = H + r * mv

...