Problemas Sesion 8

 Modelado y Simulación de Sistemas Complejos

Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012

Lino Gustavo Garza Gaona

Problemas Sesión 8

3. [Teórico]. El teorema de equipartici—n establece que

∂HN (q, p; α)

xi = δi jkBT,

∂xj

donde δij es la delta de Kronecker. Aplique este teorema para determinar el valor medio (H) de los siguientes Hamiltonianos

222

p+ p+ p

xyz

H = .

2m

Aplicando el teorema tenemos

∂HN (p; α)1 dH dH dH

xi = px +py +pz ,

∂xj2m dpxdpydpz1

= (kBT + kBT + kBT ),

2

3kBT

= .

2

222

p+ p+ p

xyz

H =+ mgz.

2m

En este caso tenemos que agregar la parte que aporta mgz, llamemos a esto Hq y Hp al valor medio calculado en el apartado anterior, entonces aplicando el teorema tenemos

dHqqz = kBT,

dqz

luego el valor medio (H) es

(H) =Hp+Hq,

3kBT

=+ kBT,

2 5kBT

= .

2

22

px + py K(x2 + y2)

H =+ .

2m 2

Aplicando el teorema tenemos

∂HN (p, q; α)

xi = Hp + Hq∂xj

1 dH dH KdH dH

= px + py + qx + qy ,

2m dpx dpy 2 dqx dqy

11

= (kBT + kBT ) + (kBT + kBT ),

22

= 2kBT.

5.         [Analítico]. El modelo de Kittel es un modelo zipper de terminaci—n simple para el fen—meno de des naturalizaci—n del ADN y es como sigue. Consideremos un zipper de N enlaces que pueder abrirse s—lo por una terminal. Si los enlaces 1, 2,..., n est‡n todos abiertos la energ’a requerida para abrir el enlace n + 1 es E; sin embargo, si no todos los enlaces anteriores est‡n abiertos la energ’a requerida para abrir el enlace n + 1 es infinita. El enlace N no puede abrirse, y se dice que el zipper est‡ abierto (esto es, el ADN est‡ completamente desnaturalizado) cuando los primeros N − 1 enlaces lo est‡n. Adem‡s suponemos que hay G orientaciones que cada enlace abierto puede tomar, esto es, el estado abierto de un enlace es degenerado con orientaci—n G. El Hamiltoniano correspondiente al modelo es

N−1

N

H = E(1 − δs1,0) + (E + V0δsi−1,0)(1 − δsi,0). i=2

donde si = 0 significa que el enlace i est‡ cerrado, si = 1, 2,...,G significa que el enlace i est‡ abierto en uno de los posibles G estados, y δs,s' es el s’mbolo de Kronecker.Note que la restricci—n Kittel en el zipper corresponde a la elecci—n V = ∞, y que tambiŽn hemos impuesto la condici—n de frontera sN = 0. Utilice un formalismo de matriz de transferencia para resolver este modelo de manera similar al modelo Ising.

Solución

La matriz de transferencia T se define como

⎛⎞

1        0 ... 0

1 a ... a T = .. .,

.        . .

.        . .

[pic 1]

[pic 2]

⎝⎠

1         a ... a

donde a = e−βE. La funci—n de partici—n puede ser modelada en la forma

⎛⎞

1 1 ZN = (1 a ··· a)TN−2 ..

.

.

[pic 3]

[pic 4]

⎝⎠

1

La matriz T tiene tres distintos autovalores, λ1 = Ga,λ2 = 1 y λ3 = 0. Los autovectores de los autovalores no nulos son, respectivamente,

⎛⎞ ⎛⎞

01 − Ga

11

v1 = ., v2 = .,

..

..

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

⎝⎠ ⎝⎠

11

si hacemos

1 − (Ga)N 1 − (Ge−βE )N

...