Problemas Sesion 2.

 Modelado y Simulación de Sistemas Complejos

Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012

Lino Gustavo Garza Gaona

Problemas Sesión 2

1.         [Analítico]. En un cuidadoso estudio experimental de la din‡mica de poblaciones del "metazoan Daphnia magna", F. E. Smith [Population dynamics of Daphnia magna and a new model for population growth, Ecology 44, 651-663 (1963)] encontr— que sus observaciones no coincid’an con las predicciones del model log’stico. Usando la masa M de la poblaci—n como medida de su tama–o, el propuso el modelo

k − M

M' = rM,         (1)

k + aM

donde r, k y a son constantes positivas. Encuentre los puntos de equilibro y determine sus estabilidades.

Solución.

Llamemos f (M)a M'. Para encontrar los puntos de equilibro vemos cu‡ndo es que la funci—n se hace cero, y esto es en M = 0y M = k. Para determinar si son estables o no, vemos el signo de la derivada en esos puntos. La derivada es

(k2 − 2kM − aM2)

f '(M) = r         .

(k + aM)2

Evaluamos en M = 0y M = k

f '(0) = r, r

f '(k) = − .

a + 1

A partir del signo de la derivada podemos determinar si un punto es estable o no, as’, vemos que para 0 es positivo, mientras que para k el signo es negativo, por lo que concluimos que k es estable, mientras 0 es un punto de equilibrio inestable.

2. [Analítico y Modelado]. Para desarrollar una estrategia para explotar un recurso renovable, digamos el pescado, consideremos la ecuaci—n   N' = rN1 − N − H(N), (2)

k

que es el modelo de poblaci—n log’stico usual con un incremento en la tasa de mortalidad como resultado de la explotaci—n. H(N) representa la explotaci—n permitida por unidad de tiempo.

a) Asumiendo H(N) = CN, donde C es la tasa de captura intr’nseca, encuentre la poblaci—n de equi librio N∗, y determine la m‡xima explotaci—n permitida. b) Si, como estrategia alternativa, consideramos la explotaci—n permitida constante H(N) = H0, deter rk

mine el punto de equilibrio estable y muestre que cu‡ndo H0 se aproxima a por abajo, existe el

4

riesgo de que la especie explotada se extinga.

Solución.

a) Si asumimos H(N) = CN, tenemos la ecuaci—n N

N ' = rN 1 −− CN,

k

al igualarla a cero podemos obtener los puntos de equilibrio

rN

Nr −− C = 0,

k k(r − C)

y obtenemos N∗ = 0y N∗ = .

01

r

Ahora, para ver si son estables estudiemos el signo de su derivada; la derivada es

f ' (N) = r − C − 2rN .

k

La evaluamos en los puntos de equilibrio y obtenemos

f ' (0) = r − C, k(r − C)

'

f = C − r.

r

k(r − C)

Luego N∗ = 0 ser‡ estable si C > r y N∗ = es estable cuando r > C.

01

r Para determinar la m‡xima explotaci—n permitida, debemos ver H(N∗), esto es H(N∗) = CN∗ y buscamos

1 11

el C que maximiza esta expresi—n

k(r − C)

f (C) = C ,

r C2k

= Ck − ,

r f ' (C) = k − 2Ck ,

r r

igualando a cero obtenemos C = . Entonces podemos sustituir este valor en H(N∗) y obtenemos la

1

2

m‡xima explotaci—n permitida, que es

Ck(r − C) kr

H(N1 ∗) == .

r 4

b) Si H(N) = H0 constante, entonces tenemos la siguiente ecuaci—n N

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