Programa Mat 411

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA MADRE Y MAESTRA

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

PROGRAMA

MAT-411 T P C

Cálculo IV 4 0 4

Prerrequisito: MAT-311 Correquisito: Ninguno

DESCRIPCIÓN:

Esta asignatura comprende el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la transformada de Laplace, series et integral de Fourier. Ha sido elaborado para estudiantes de Matemática, Ingenierías y Ciencias.

OBJETIVOS:

1. Destacar que las ecuaciones diferenciales son expresiones de modelizaciones matemáticas de sistemas y eventos de la realidad.

2. Presentar técnicas de solución a problemas matemáticos relativamente complejos, entre ellas las de computación.

3. Tratar sistemas y eventos a lo largo de curso mediante aplicaciones variadas.

4. Desarrollar habilidades en el estudiante para que en el futuro pueda desenvolverse en el campo que elija, matemática, ingeniería, ciencias y otros.

CONTENIDOS:

Unidad I: Introducción.

1.1 Clasificación de una ecuación según el tipo, según el orden, según el grado y según la linealidad.

1.2 Solución de una ecuación diferencial ordinaria.

1.3 Familias de curvas

1.4 Representación analítica de una familia de curvas mediante una ecuación diferencial.

1.5 Condiciones iniciales de ecuación diferencial.

1.6 Teorema de existencia y unicidad.

1.7 Ecuaciones diferenciales y modelizaciones matemáticas de sistemas y eventos. Elaboración de un modelo.

1.8 Métodos de solución analítico, cualitativo y numérico

Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de primer orden

2.1 Ecuación diferencial separable. Aplicaciones

2.2 Ecuación diferencial lineal. Aplicaciones.

2.3 Ecuación diferencial exacta. Aplicaciones.

2.4 Factor integrante de una ecuación diferencial no exacta.

2.5 Ecuación diferencial homogénea. Aplicaciones.

2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli. Aplicaciones.

2.7 Ecuación diferencial del tipo y = f(A x + B y + C), con A, B, C constantes.

2.8 Solución numérica de una ecuación diferencial. Método de Euler.

Unidad III: Ecuaciones diferenciales de orden n > 1.

3.1 Ecuación diferencial lineal y condiciones iniciales.

Operador diferencial de orden n

Operador diferencial polinómico de grado n. Propiedades.

Expresión operatorial de la ecuación diferencial lineal.

3.2 Ecuación diferencial lineal reducida. Definición.

3.3 Solución general de la ecuación diferencial lineal como suma de la solución reducida y una particular de la no reducida. Demostra-ción.

3.4 Ecuación diferencial lineal reducida. Conjunto fundamental de soluciones y solución general en función de ellas. Independencia lineal y no lineal de un conjunto de funciones. El wronskiano.

3.5 Ecuación diferencial lineal reducida a coeficientes constantes. Polinomio y ecuación característicos. Soluciones para raíces reales distintas, reales iguales y complejas conjugadas del polinomio característico correspondiente a una ecuación de orden n =2. Generalización de las soluciones para n > 2. Aplicaciones

3.6 Solución general de la ecuación diferencial lineal a coeficientes constantes por los métodos de coeficientes indeterminados, variación de parámetros y operador inverso. Aplicaciones.

3.7 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes. Aplicaciones.

3.8 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes variables. Ecuación de Cauchy-Euler. Soluciones

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