Propagacion De Errores

Propagación de Errores

Objetivos

Adquirir las nociones fundamentales de la teoría de errores.

Aprender a determinar los errores en una seria de medidas.

Reconocer fuente de errores.

Utilización y manejo de la propagación de errores.

Marco Teórico

Observaremos que las mediciones obtenidos no siempre las mismas, ya que esto depende de la forma en que coloquemos la regla, vernier o micrómetro para medir, si se observan los números con claridad, si el instrumento de medición esta en buena mediciones, etc.

Para ello debemos de saber en que consiste medir y cuales son sus condicionamientos.

La medición del error

Cuando medimos el objeto se debe de tener las bases teóricas que se necesitan para este fin, las cuales están relacionadas entre si y cada una de este afectara los resultados:

El objeto, El Instrumento, Sistema de referencia o patrón y El operador.

El objeto a medir limita el número de cifras significativas que podemos recoger en la medición

El instrumento determinará también, de acuerdo a sus características, el número de cifras significativas.

El sistema de referencia, condiciona la exactitud por su propio proceso de medición y de definición en la calibración del instrumento.

El operario que interactúa con el instrumento y el objeto, también contribuye con las incertezas del proceso de medición.

Mediciones

El trabajo en laboratorio implica medir magnitudes físicas mediante el uso de instrumentos de medida.

Medir

Es la comparación de la magnitud que se está estudiando con un patrón de medidas. Se puede decir que el resultado de una medida es lo que se conoce como el valor de la magnitud. Este valor debe ir acompañado de su respectiva unidad de medida.

Apreciación

Es la menor división en la escala de un instrumento. Cuando se lee en un instrumento con escala única, se aproxima la lectura a la división más cercana. Así, el máximo error que se puede cometer en dicha medición, es de más o menos la apreciación. La apreciación de un instrumento de una sola escala se determina, escogiendo dos valores sobre la escala, que pueden ser consecutivos o no. Se hace la diferencia del valor mayor menos el menor y se divide entre el número de partes en que está dividido.

La apreciación de un instrumento es una indicación del error de la medida. Se habla entonces de la “precisión” de un instrumento: a menor apreciación, mayor precisión.

Medidas de longitud

Tenemos la regla, vernier, micrómetro y muchos mas cada uno de estos tiene su grado de precisión.

Tipos de medidas

Las medidas en un laboratorio pueden ser directas (o fundamentales) o indirectas (derivadas).

Medidas directas: son el resultado de una comparación directa (usualmente con la ayuda de instrumentos) de una cantidad desconocida de una entidad física, con una cantidad conocida o estandarizada de la misma entidad. Ejemplo: la medida de la longitud de una varilla, la medida de la masa de un cuerpo, el tiempo transcurrido entre dos eventos, etc.

Medidas indirectas: son aquellas que resultan del cálculo de un valor como función de una o más medidas directas. Ejemplo: la velocidad, la densidad, la presión, la determinación del volumen V de un cilindro que se basa en la medida directa de su diámetro D y altura h.

Errores

Es la diferencia entre el valor obtenido de una medida y el valor verdadero de la magnitud de la misma.

Consideremos a continuación los diferentes tipos de errores que se deben tener en cuenta cuando se realiza una medición:

Errores sistemáticos

Son errores que sistemáticamente corren las medidas en una misma dirección del valor verdadero. Son causados por:

a. Defecto o inexactitud del aparato usado. Por ejemplo, si el cero del nonio de un vernier no coincide con el cero de la escala fija, en la posición inicial, se introducirá una desviación que es igual para todas las medidas realizadas. Ello se puede remediar “calibrando” el instrumento.

b. Por el observador, que puede introducir errores por efecto de paralaje. Este error se evita estando consciente de las causas que lo origina.

c. Variación de las condiciones ambientales, sobre las cuales el observador no tiene control.

d. Por el método empleado y en este caso sólo se hacen evidentes si se cambia el método.

Calculo de errores

El cálculo de los errores casuales o aleatorios, necesita del uso de la teoría estadística. Esta fue desarrollada por Gauss y da resultados óptimos en el caso de un gran número de mediciones. Sin embargo se usa también en el caso de un pequeño número de medidas, suponiendo que es válida allí. Se considera como un número grande de medidas cuando éstas son mayores o iguales a 20. Sin embargo, para algunos autores, este número puede estar entre 10 y 30. Así, cuando se realiza una serie de medidas de una magnitud, lo más probable es que ellas, sean diferentes. Entonces surge la pregunta: ¿cuál es el mejor valor? y una vez elegido el mejor, ¿cuál será el error? Para contestar estas preguntas es necesario manejar algunas definiciones.

Cálculo de errores en un número pequeño de medidas

Valor medio aritmético: representa estadísticamente el valor más cercano al valor verdadero y corresponde al cociente de la suma de los resultados de medir n veces una misma magnitud entre el número de medidas hechas.

Error absoluto, desviación o residuo de una medida: es definido como el valor absoluto de la desviación de cada medición respecto a la media aritmética.

Error medio absoluto, desviación media o residuo medio de una medida: corresponde al valor medio de los errores absolutos.

Error relativo medio o desviación relativa media de una medida: es dado por el cociente entre el error absoluto medio y el valor medio aritmético.

Error porcentual medio o desviación porcentual media: es el error relativo medio multiplicado por cien.

El resultado final de la medida de una magnitud, puede escribirse como: Valor medio aritmético ± Error medio absoluto . Aquí el símbolo “±” determina los límites dentro de los cuales está la magnitud medida. El signo “+” indica el límite por la derecha de la medida (error por exceso) y el signo “-”, el límite por la izquierda (error por defecto).

Propagación de errores

Ya hemos analizado lo correspondiente a errores sobre magnitudes medidas directamente, Sin embargo, frecuentemente la magnitud de interés resulta de cálculos hechos con varias magnitudes, medidas directamente, por lo que el error en dicha magnitud debe ser obtenida a partir de los errores de cada una de las magnitudes medidas por separado. Por ejemplo, el volumen de una cilindro macizo es , donde se miden D y h, para posteriormente calcular el volumen. El procedimiento que permite obtener este error es lo que se conoce como propagación de errores.

Sea una magnitud m que es función de varias magnitudes medidas directamente, es decir:

El error absoluto en m es producido por cada uno de los errores de las magnitudes x1, x2, x3,…, independiente uno de los otros. A los errores producidos por cada una de las magnitudes x se les llaman errores parciales de m. El error de m será entonces la suma de todos los errores parciales, tomándose un valor absoluto para así obtener el caso más desfavorable, en una medida, que es cuando todos los errores se suman. Por lo tanto, el error absoluto Dm de m estará dado por:

Donde los términos dm/dx1 , dm/dx2,...,dm/dxn son llamados derivadas parciales de m con respecto x1, x2,… , xn , respectivamente. Ellas se calculan derivando la función m con respecto a cada unas de las variables en forma separada y considerando constante las demás. Al derivar m con respecto a x1 consideran a las variables x2, x3,...,xn como constantes, así sucesivamente cuando se deriva respecto a x2, o a x3, hasta xn.

Materiales y Equipos

Los instrumentos que utilizamos para medir fueron un vernier y un micrómetro los cuales tenían una apreciación de 0,02 y 0,01 respectivamente. También se utilizo una balanza para obtener el peso del cilindro hueco.

Los dos objetos a medir fueron un cilindro macizo y hueco.

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