Proyeccion paralela

PROYECCIÓN PARALELA

Quizás la forma más sencilla de hacer esto sea descarta la coordenada z de los puntos que definen el objeto. Este es un caso particular de un método conocido con el nombre de proyección paralela. Una proyección paralela se consigue trazando rectas paralelas desde cada uno de los vértices del objeto hasta que intersectan al plano de la pantalla. El punto de intersección es la proyección de cada vértice. Los puntos de proyección se conectan mediante segmentos que corresponden a las conexiones existentes en el objeto original.

Nuestro caso especial, en el que se elimina la coordenada z, es aquel en el que la pantalla, o superficie de visualización, es paralela al plano xy y las líneas de proyección son paralelas al eje z. A medida que nos movemos por las rectas de proyección sólo cambia la coordenada z; las coordenadas x e y permanecen constantes. Así, el punto de intersección con la pantalla tiene las mismas coordenadas x e y que el vértice que estamos proyectando.

En el caso general de proyección paralela, se puede escoger cualquier dirección para las rectas de proyección (siempre y cuando no sean paralelas a la superficie de proyección). Supongamos que la dirección de proyección está dada por el vector y que la imagen va ser proyectada sobre el plano xy. Si tenemos un punto del objeto, queremos determinar el punto proyectado . Empecemos por definir las ecuaciones de la recta que pasa por un punto y tiene la dirección de las rectas de proyección. De forma paramétrica

Ahora nos preguntamos dónde corta esta línea al plano xy? Es decir, cuales son los valores de x e y cuando z=0.

Estas ecuaciones son de hecho una transformación que se pueden escribir en forma matricial

o, de otra forma, en coordenadas homogéneas

PROYECCIÓN EN PERSPECTIVA

Un método alternativo para realizar la proyección de un objeto tridimensional sobre la pantalla de un ordenador es la proyección en perspectiva. En este tipo de proyección, cuanto más lejos está un objeto del observador, más pequeño parece. Esto permite al observador tener una idea de profundidad, una indicación de que porciones de la imagen corresponden a las partes del objetos que están más cerca o más lejos del observador. En la proyección en perspectiva las líneas de proyección no son paralelas, sino que convergen en un punto denominado centro de proyección. Estas podrían ser los rayos de luz que procedentes del objeto llegan a los ojos del observador. Será la intersección de estas rectas convergentes con el plano de la pantalla las que definan la imagen proyectada.

Si el centro de proyección está en y el punto del objeto es entonces el rayo proyectante será la recta que pasa por estos dos puntos y está dada, en forma paramétrica, por las ecuaciones

En punto proyectado será el punto de intersección de esta recta con el plano xy, donde la coordenada z es nula.

de otra forma

Esta proyección puede ponerse en la forma de una matriz de transformación si tenemos en cuenta las propiedades de las coordenadas homogéneas. La forma de esta matriz será

Para demostrar que esta transformación funciona, consideremos el punto , en coordenadas homogéneas tendremos que multiplicado por la matriz anterior nos da

De esta expresión se deducen fácilmente las coordenadas del punto proyectado que coinciden con las obtenidas anteriormente de forma analítica.

PARÁMETROS DE VISUALIZACIÓN

Hemos visto hasta ahora como realizas proyecciones paralelas y en perspectiva para forma la imagen bidimensional de un objeto tridimensional tal como un observador lo vería desde el frente. Pero cómo podríamos ver este mismo objeto desde un lado, desde arriba, o incluso desde atrás? Todo lo que necesitamos hacer son varías rotaciones antes de realizar la proyección. Existen, como ya hemos visto, dos forma equivalentes de pensar acerca de esto. Podemos pensar que el plano de proyección (es decir, la pantalla del ordenador) es algo fijo y el objeto es el que gira, o podemos pensar en el objeto como lago fijo y que el plano de proyección cambia de posición en cada caso.

Este segundo planteamiento es el que vamos a ver a continuación. Podemos considerar que el plano de proyección es la película de una cámara de fotos. La cámara puede moverse en cualquier dirección y así es posible ver el objeto desde cualquier ángulo. La imagen capturada por la cámara es lo que veremos en la pantalla.

El primer parámetro que debemos tener en cuenta son las coordenadas del punto de referencia . Este punto es algo así como el centro de atención. El resto de los parámetros de visualización se expresan respecto a este punto. Si rotamos la vista, será una rotación alrededor del punto de referencia (no alrededor del origen). Podemos pensar en el punto de referencia como un gancho donde hemos atado una cuerda. Nuestra cámara sintética está atada al otro extremo de esta cuerda. Mediante el cambio del resto de parámetros de visualización, podemos desplazar la cámara formando un arco cambiar la longitud de la cuerda. Uno de los extremos de la cuerda está siempre unido al punto de referencia.

La dirección de esta cuerda imaginaría esta dada por el vector normal al plano de visualización.

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