Prueba C2

Universidad de La Frontera

Facultad de Ingenier a y Ciencias        Temuco, 10 de Abril de 2019

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Departamento de Matematica y Estad stica.

Prueba C2 - B1 (IME050)

NOMBRE:

CARRERA:

MATRICULA:

1. (12 puntos)

1. Determine el intervalo mas grande en el cual la funcion

f(x) = 1 + arctg(x2)

es decreciente.

1. Veri que que ningun punto de la curva de ecuacion xy2 = x + y

tiene recta tangente horizontal.

1. (12 puntos) La posicion x = x(t) de una part cula en cada instante t > 0 esta dada por x(t) = e t(t + 1):

a) Determine la rapidez de la part cula en cada instante t:

b) Que pasa con la rapidez de la part cula cuando ha transcurrido mucho tiempo?

1. (12 puntos) Se desea fabricar un deposito de agua con forma cil ndrica (sin tapa). El precio por metro cuadrado del material para fabricar el fondo del deposito es de 2 mil pesos, y el de la parte lateral es de 3 mil pesos. Determine las dimensiones del deposito mas barato que se

puede construir de modo que este almacene 10 metros cubicos de agua.

1. (14 puntos) Haga un bosquejo de la curva

• = xx2 2

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analizando monoton a, puntos extremos, concavidad y as ntotas.

1. (10 puntos) Sea f una funcion derivable en R tal que f(1) = 0 y de na g(x) = xf(x2):

Veri que que el teorema de Rolle puede ser aplicado a g en el intervalo [0; 1] y use esto para deducir que existe 2 (0; 1) satisfaciendo la igualdad

f( ) =        2 f0( ):

Pauta de Correccion

1. (12 puntos)

1. (6 puntos) Note que

f0(x) =        2x

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1 + x4

(3 puntos)

y por tanto f decrece en ] 1 ; 0[:

(3 puntos)

(b) (6 puntos) Derivando de forma impl cita se consigue

(2 puntos)

y por tanto

y0 = dxdy = 0  () y =        1:

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(2 puntos)

Pero si reemplazamos en la ecuacion y = 1 se consigue x = x 1; luego no hay puntos sobre la curva con la propiedad pedida.

(2 puntos)

donde la segunda igualdad se consigue aplicando la regla de L’Hopital.

(4 puntos)

As , cuando ha pasado mucho tiempo la rapidez es cero, es decir, la part cula no se mueve.

(2 puntos)

1. (12 puntos) Ses r el radio de la base del deposito y h la altura del deposito, medidos en metros. Expresados en pesos, el costo de fabricar la base es de 2( r2) y el costo de fabricar la parte lateral es de 3(2 rh):

(2 puntos)

Como el deposito debe almacenar 10 metros cubicos de agua, se tiene la relacion

r2h = 10  () h = 10r2 :

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(2 puntos)

Lo que se pide es minimizar la funcion de costo, digamos C : R+ ! R de nida por

C(r) = 2( r2) + 3(2 rh) = 2 r2 + 60r:

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y as concluimos que en r0 hay un m nimo local. Note que en los extremos (r ! 0 y r ! 1) la funcion crece sin l mite; sigue que en r0 hay un m nimo global.

(2 puntos)

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(2 puntos)

1. (14 puntos) Sea f : R f 2g ! R la funcion de nida por f(x) = xx22 :

Estudiamos la monoton a: se tiene que

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se tiene que y = x + 2 es una as ntota oblicua.

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