Prueba C2
Enviado por CATALINA ALEXSANDRA GATICA SALINAS • 21 de Agosto de 2020 • Exámen • 869 Palabras (4 Páginas) • 70 Visitas
Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenier a y Ciencias Temuco, 10 de Abril de 2019
[pic 1][pic 2]
Departamento de Matematica y Estad stica.
Prueba C2 - B1 (IME050)
NOMBRE:
CARRERA:
MATRICULA:
- (12 puntos)
- Determine el intervalo mas grande en el cual la funcion
f(x) = 1 + arctg(x2)
es decreciente.
- Veri que que ningun punto de la curva de ecuacion xy2 = x + y
tiene recta tangente horizontal.
- (12 puntos) La posicion x = x(t) de una part cula en cada instante t > 0 esta dada por x(t) = e t(t + 1):
a) Determine la rapidez de la part cula en cada instante t:
b) Que pasa con la rapidez de la part cula cuando ha transcurrido mucho tiempo?
- (12 puntos) Se desea fabricar un deposito de agua con forma cil ndrica (sin tapa). El precio por metro cuadrado del material para fabricar el fondo del deposito es de 2 mil pesos, y el de la parte lateral es de 3 mil pesos. Determine las dimensiones del deposito mas barato que se
puede construir de modo que este almacene 10 metros cubicos de agua.
- (14 puntos) Haga un bosquejo de la curva
- = xx2 2
[pic 3]
analizando monoton a, puntos extremos, concavidad y as ntotas.
- (10 puntos) Sea f una funcion derivable en R tal que f(1) = 0 y de na g(x) = xf(x2):
Veri que que el teorema de Rolle puede ser aplicado a g en el intervalo [0; 1] y use esto para deducir que existe 2 (0; 1) satisfaciendo la igualdad
f( ) = 2 f0( ):
Pauta de Correccion
- (12 puntos)
- (6 puntos) Note que
f0(x) = 2x
[pic 4]
1 + x4
(3 puntos)
y por tanto f decrece en ] 1 ; 0[:
(3 puntos)
(b) (6 puntos) Derivando de forma impl cita se consigue
y0 | = | dy | = | y2 | 1 | |
2xy | ||||||
dx | 1 |
(2 puntos)
y por tanto
y0 = dxdy = 0 () y = 1:
[pic 5]
(2 puntos)
Pero si reemplazamos en la ecuacion y = 1 se consigue x = x 1; luego no hay puntos sobre la curva con la propiedad pedida.
(2 puntos)
(2) (12 puntos) | ||||||||||||
a) (6 puntos) Si v(t) denota la rapidez en el instante t entonces | ||||||||||||
v(t) = | dx | |||||||||||
dt | ||||||||||||
(2 puntos) | ||||||||||||
y luego | d | |||||||||||
v(t) = | (e t(t + 1)) = te | t: | ||||||||||
dt | ||||||||||||
(4 puntos) | ||||||||||||
b) (6 puntos) Note que | ||||||||||||
l m te t = l m | t | = l m | 1 | = 0 | ||||||||
t!+1 | t!+1 et | t!+1 et |
donde la segunda igualdad se consigue aplicando la regla de L’Hopital.
(4 puntos)
As , cuando ha pasado mucho tiempo la rapidez es cero, es decir, la part cula no se mueve.
(2 puntos)
- (12 puntos) Ses r el radio de la base del deposito y h la altura del deposito, medidos en metros. Expresados en pesos, el costo de fabricar la base es de 2( r2) y el costo de fabricar la parte lateral es de 3(2 rh):
(2 puntos)
Como el deposito debe almacenar 10 metros cubicos de agua, se tiene la relacion
r2h = 10 () h = 10r2 :
...