REGLA DE RUFFINI

REGLA  DE  RUFFINI

Frecuentemente se plantea el problema de dividir polinomios por binomios del tipo x – a. Binomios del tipo x – a serían, por ejemplo, x – 5  donde a = 5, x + 3  donde a = -3, x – ¼  donde  a = ¼.

        La Regla de Ruffini resume el método de obtener los  coeficientes del cociente  y el resto al dividir un polinomio por el binomio x – a .

        Podemos describirla del modo siguiente:

1. El primer coeficiente del cociente coincide con el primer coeficiente del dividendo.
2. El segundo coeficiente del cociente es igual al producto de a por el primer coeficiente del cociente, más el segundo coeficiente del dividendo.
3. El tercer coeficiente del cociente es igual  al producto de a por el segundo coeficiente del cociente, más el segundo coeficiente del dividendo.
4. El resto es igual al producto de a por el último coeficiente del cociente, más el último coeficiente del dividendo.
5. El grado del cociente es inferior en una unidad al grado del dividendo.

Ejemplo 1

                ( 3x6 – 4x5 + 3x4 – 2x3 + x2 – x + 1): (x- 2) =

        Para realizar esta división debemos tener presente los coeficientes del dividendo, el a = 2 y aplicar la Regla de Ruffini.

                3        -4        3        -2        1        -1        1

        (2)                6        4        14        24        50        98

                3        2        7        12        25        49        99

        Una vez conocidos los coeficientes del cociente, como sabemos que el grado del cociente es un grado inferior que el del dividendo, tendremos que el cociente será:

                3x5 + 2x4 + 7x3 + 12x2 + 25x + 4

        El resto es 99, que es el último número obtenido.

Ejemplo 2

        Efectuar la división ( x5 + 1) : (x + 1) empleando la Regla de Ruffini.

        En la forma usual  de efectuar la división pueden aparecer términos de algún grado que no estén en el dividendo. Aplicando la regla de Ruffini también  puede suceder lo mismo. En estos casos, completamos el polinomio poniendo ceros donde falta alguno de los términos. Así pues,

                X5 + 1 = x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x +1

        Por  lo tanto tendremos:

                1        0        0        0        0        1

        (-1)                -1        1        -1        1        -1

                1        -1        1        -1        1        0

Por consiguiente, el cociente será x4 – x3 + x2 – x + 1, y como el resto es cero, se

trata  de una división exacta.

Ejemplo 3

        En el polinomio 2x3 – 7x2 + kx – 3, el coeficiente k es desconocido, pero se sabe que al dividir  el polinomio entre x – 3 la división es exacta. Hallar el valor de k.

        Aplicando la Regla de Ruffini tendremos:

                2        -7        k        -3

        (3)                6        -3        3(k-3)

                2        -1        k-3        -3+3(k-3)

        Como la división ha de ser exacta, el resto debe valer cero.

        Por lo tanto:        -3+3(k-3) = 0

        Es decir        -3 + 3k – 9 = 0

        O sea                        3k = 12

                                K = 4

        Comprobemos que la división :

        ( 2x2 – 7x2 + 4x – 3) : ( x – 3)  es exacta

                2        -7        4        -3

        (3)                6        -3        3

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