Regla De Ruffini

Ruffini, matematico italiano, ideó a finales del siglo XVII un algoritmo para obtener fácilmente el cociente C(x) y el resto R(x), al dividir un polinomio P(x) por un binomio de la forma (x - a).

Metodo de Ruffini

Es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x - a) siendo a un numero entero.

Como P(x) = (x - a) . C(x) + R(x), el grado de cociente C(x) tiene que ser una cantidad inferior al grado de dividendo.

Veamos como se aplica la Regla de Ruffini con un ejemplo:

Calculamos (x3 + 1) / (x - 2).

x3 + 1 = 1x3 + 0x2 + 0x + 1

1° Escrbimos los coeficientes de todos los monomios, desde el de mayor grado al término independiente, del dividendo.

1 0 0 1

2° A la izquierda se coloca el término independiente del divisor cambiando de signo.

1 0 0 1

2

3° Copiamos el primer coeficiente en la fila de resultados.

1 0 0 1

2

1

4° Se va multiplicando el resto de coeficientes por el termino independiente cambiando de signo, y se suman al siguiente coeficiente.

| 1 0 0 1

2| x2 2 x2 4 x28

1 2 4 9

coeficiente resto

El ultimo número de la fila de resultados es el resto, y los demas números se corresponden con los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es una unidad menor al del dividendo.

Los coeficientes del polinomio cociente son:

1, 2, 4 = C(x) = x2 + 2x + 4

El resto es 9.

Podemos comprobar que:

x3 + 1 = (x - 2) . (x2 + 2x + 4) + 9

Para utilizar el metodo de ruffini es necesario que P(x) esté expresado de forma completa, es decir, si es de grado n, debe contener todos los téminos de grado menor o igual que n.

Si P(x) no es completo, como, por ejemplo: P(x) = x3 - 3, si lo consideramos de la forma: P(x) = x3 + 0x2 +0x - 3.

Explicación:

CÓMO HACER

• Realizamos la división (x4 + 2x3 - 3x2 - 6) / (x + 2).

1°. Escribimos los coeficientes de los términos del dividendo tras ordenarlo en forma decreciente segun su grado. Añadimos un cero en el lugar correspondiente a cada término que falte.

1 2 -3 0 -6

2°. Ponemos el número a del divisor:

-Si el polinomio divisor es x - a, escribimos el número a.

-Si el polinomio divisor es x + a, escribimos el número -a.

1 2 -3 0 -6

-2

3°. Bajamos el primer coeficiente del dividendo y lo multipicamos por el valor de a. El resultado se coloca bajo el siguiente coeficiente y se suman. Se repite este proceso hasta llegar al último coeficiente.

1 2 -3 0 -6

-2 -2

1 0 =

1 2 -3 0 -6

-2 -2x(-2) 0x(-2) 6x(-2 )-12

1 0 -3 6 -18

4°. El último coeficiente obtenido es el resto. El polinomio cociente es el formado por los demás coeficientes, y su grado es una unidad menor que el grado de dividendo.

1 2 -3 0 -6

-2 -2 0 6 -12

1 0 -3 6 -18 Resto

Cociente: 1x2 + 0x2 - 3x + 6 = x3 - 3x + 6 Resto: -18

Podemos comprobar que: x4 + 2x3 - 3x2 - 6 = (x + 2) . (x3 - 3x + 6) - 18.

• Dividimos P(x) = x4 - 2x2 + 3x + 1 por Q(x) = x - 3 usando la regla de Ruffini.

1 0 -2 3 1

3 3 9 21 72

1 3 7 24 73 Resto

Cociente: x3 + 3x3 7x + 24

...