El método o regla de Ruffini
Enviado por marcanof71 • 13 de Enero de 2016 • Ensayos • 1.624 Palabras (7 Páginas) • 319 Visitas
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U.E.N. Liceo Nocturno Nicolás Copérnico
Caracas – Caricuao
Método de Ruffini
Profesor: Integrante:
Wilfredo Torres Zoraida C. Mejías H.
C.I.V.- 14.322.899
El método o regla de Ruffini
El método o regla de Ruffini es un método que nos permite dividir un polinomio entre un binomio y además permite localizar las raíces de un polinomio para factor izarlo en binomios. En otras palabras esta técnica posibilita dividir o descomponer un polinomio algebraico de grado n, en un binomio algebraico, y luego en otro polinomio algebraico de grado n-1. Y para que esto sea posible se necesita saber o conocer por lo menos una de las raíces del polinomio único, con el propósito de que la separación sea exacta.
En el mundo matemático, a regla de Ruffini es una técnica eficaz para dividir un polinomio por un binomio de la forma x – r. La regla de Ruffini es un caso especial de la división sintética cuando el divisor es un factor lineal. El método de Ruffini fue descrito por el matemático, profesor y médico italiano Paolo Ruffini en el año de 1804, quien además de inventar el famoso método denominado regla de Ruffini, que ayuda a encontrar los coeficientes del resultado de la fragmentación de un polinomio por el binomio; también descubrió y formulo esta técnica sobre el cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones.
Años más tarde, exactamente en 1819 y luego en 1845, fue abordado nuevamente este método por William George Horner, profesor y matemático inglés, quien indago sobre los estudios realizados por el italiano Paolo Ruffini y sus trabajos sobre esta técnica utilizada hoy en día. Posteriormente el método del matemático ingles fue utilizado por los matemáticos J.R. Young y De Morgan este último nacido en la india.
Historia del método Ruffini
El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.
El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos. El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.
En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima en la obra de Al Samaw'al (siglo XII). El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.
Algoritmo
La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:
[pic 1]
entre el binomio:
[pic 2]
para obtener el cociente:
[pic 3]
y el resto:[pic 4]
- 1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos. Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (an):
[pic 5]
- 2. Se multiplica (an) por r y se escribe debajo de an-1:
[pic 6]
- 3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:
[pic 7]
- 4. El proceso se repite:
[pic 8]
Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante [pic 9] de grado uno menos que el grado de [pic 10]. El residuo es [pic 11]
Preguntas y Respuestas
¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene coeficiente principal distinto de 1?
Si el divisor tiene un número multiplicando a la "x" (coeficiente principal distinto de 1), por ejemplo:
(2x + 5)
Se puede aplicar la regla de Ruffini si se previamente se multiplica al divisor por un número para quitarle el coeficiente, y al dividendo se lo multiplica por el mismo número. Luego se dividen los dos nuevos polinomios y el cociente que se obtiene es el mismo, y al resto al que dividirlo por ese número.
¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene la "x" negativa?
Si la "x" ó la indeterminada del divisor es negativa, por ejemplo en:
(3 - x)
El coeficiente principal es -1, ya que (3 - x) es igual a:
(-1x + 3)
Entonces estamos ante un caso como el que mostré en la pregunta anterior: hay un número multiplicando a la "x". Por lo tanto se puede usar el mismo procedimiento que allí comenté: multiplicar al divisor por un número que haga desaparecer al -1 (que será -1), y al dividendo por ese mismo número. Luego dividir, y el cociente será el mismo, mientras que al resto hay que dividirlo por ese número.
"Ruffini con dos letras"
Se puede usar la regla de Ruffini en la división de polinomios con dos indeterminadas, tomando una de las indeterminadas como número (constante). Por ejemplo, en la división:
(x7 - y7):(x - y) =
Se puede usar la regla de ruffini si se toma a "x" como la indeterminada de los polinomios, y a y7 como término independiente del dividendo, y a "y" como término independiente del divisor.
El dividendo completo y ordenado es:
x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - y7
¿Cómo determino el resultado de la división luego de aplicar la regla de Ruffini?
En la fila inferior de la regla de Ruffini se obtienen los coeficientes del cociente, ordenados de grado mayor a menor, empezando por un grado menos que el grado del dividendo. El último número de la fila es el resto, así que no forma parte del cociente, por eso se hace una línea vertical separatoria. Por ejemplo:
A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3 = -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5
B = x + 2
A:B = (-3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5) : (x + 2) =
[pic 12]
Allí, los coeficientes del cociente son:
-3 8 -6 12
Como el dividendo (el polinomio A) es de grado 4, el cociente es de grado 3 (un grado menos que el dividendo). Así que a los coeficientes hay que agregarles la indeterminada, empezando por grado 3 y disminuyendo el grado hasta llegar al término independiente (grado 0):
COCIENTE = -3x3 + 8x2 - 6x + 12
RESTO = -29
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