REGLA SE SIMPSON

. MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON

Una forma de obtener una aproximación adecuada de una integral es usar polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la función real.

El método de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir en un mayor número de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden superior en lugar de una línea recta como en la Regla Trapezoidal.

Sea una función f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces será posible ajustar por ellos una parábola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f (a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podrá ajustar una curva de grado tres, y así sucesivamente.

En la figura 1, se muestra la función que es una parábola que aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la parábola que une los tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que se verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3. Por lo tanto las fórmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios se conocen como regla de Simpson.

Figura 1 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 1/3

En la figura 2, se muestra la función que describe una ecuación cúbica que aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la cúbica que une los cuatro puntos. Note que hay cuatro puntos y tres segmentos, por lo que se verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.

Figura 2 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8

1. Regla de Simpson 1/3

Esta regla resulta cuando se utiliza una interpolación polinomial de segundo orden:

La función , es la interpolación polinomial de segundo orden. Esto se logra con el polinomio de Lagrange de segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

La función f2 es un polinomio de Lagrange de Segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

Sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene:

A continuación haremos todo el análisis matemático para obtener el valor de la ecuación que es conocida como la regla de Simpson.

Tome en cuenta que h = (b-a)/2 y c =(a+b)/2 para la demostración.

Para b hacemos la siguiente sustitución:

La expresión la sustituimos de la siguiente forma.

Y obtenemos lo siguiente:

Usando la expresión: u = x-a, para el cambio de variable:

En donde se obtiene:

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

La ecuación anterior se conoce como la regla de Simpson 1/3. La especificación 1/3 se origina del hecho que h está dividida en tres intervalos.

Recordando que la expresión h = (b-a)/2, podemos expresar la ecuación anterior de la siguiente manera.

(1.1)

Además se puede determinar que la ecuación anterior tiene un error asociado de:

La expresión anterior se puede expresar también así:

(1.2)

El término lo podemos aproximar al promedio de la cuarta derivada.

(1.3)

El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este método es más exacto que otros métodos de integración como la regla del trapecio. Vemos que el error es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del tercer grado se hace cero en la interpolación polinomial. Por lo tanto, para ecuaciones de tercer grado se obtienen ecuaciones exactas aunque se aproxime

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