Racionalización Expresiones Irracionales

Racionalización

Es el proceso algebraico que se aplica a una expresión irracional con el objeto de eliminar uno o más de sus radicales que pueden ser de un mismo índice de raíz o de índices de raíz diferentes.

Concretamente, en Álgebra el término “racionalización” hace referencia a la elilinación de radicales en el denominador; mientras que en Cálculo, es indistinto en donde se efectúe la eliminación de radicales.

Dependiendo de la naturaleza de los índices de los radicales, destacan los siguientes casos:

• Radicales de índice 2 (raíz cuadrada)
• Radicales de índice 3 (raíz cúbica)

La mención de la clasificación anterior es importante, toda vez que para caso se sigue un procedimiento algebraico para la eliminanción de radicales; lo cual da lugar a una nueva expresión algebraica con otra forma radical o ausencia de ellas.

1. Eliminación de radicales con índice 2.

El proceso que aplica es multiplicar y dividir a la expresión irracional por el binomio conjugado del binomio presente en la expresión o función racional.

Por ejemplo, este método de eliminación aplica en las sguientes formas algebraicas irracionales:

[pic 1]

Para las cuales corresponden, en orden, los siguientes binomios conjugados:

[pic 2]

De esta manera, al multiplicar cada denominador por su binomio conjugado, se eliminan los radicales como puede verse a continuación:

 [pic 3]

 [pic 4]

 [pic 5]

 [pic 6]

En lo expuesto anteriormente, cabe mencionar que sólo se operó con el denominador de las formas irracionales citadas como ejemplo, para dejar en claro cómo es que se llevó a cabo la eliminación de los radicales; aplicando para ello el siguinte enunciado:

        “El producto de dos binomios conjugados es igual         

a la diferencia de los cuadrados de sus términos”

Como puede verse, el proceso de racionalización para la eliminación de radicales de índice 2 es muy sencillo de llevar a cabo.

1. Eliminación de radicales con índice 3

Este tipo de racionalización se conoce también con el nombre de “racionalización cúbica”, y el procedimiento utilizado tiene sustento en la aplicación del siguiente producto:

        [pic 7]

Cuyo enunciado verbal es como sigue:

        “El producto de la diferencia de las raíces cúbicas de dos téminos, ,[pic 8]

          Por la raíz cúbica del cuadrado del primer término, más la raíz cúbica

          del producto de ambos términos, más la raíz cuadrada del cuadrado

          del segundo término, es igual a la diferencia de dichos términos ”[pic 9]

Comprobando dicho producto:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Eliminando términos semenjantes, finalmente obtenemos:

[pic 13]

Ahora bien, para el caso en que se tenga una suma de raíces cúbicas, entonces aplica el producto siguiente:

        [pic 14]

******

A continuación se muestra una colección de ejemplos para ambos casos de racikonalización; y en donde se solicite evaluar para un cierto valor de una variable, entonces se lleva a cabo la sustitución correspondiente.

Racionalizar las expresiones siguientes:         

[pic 15]

Solución

Aplicando el procedimiento que aplica en este caso; a saber, multiplicando y dividiendo por el conjugado del binomio de denominador, se tiene:

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Solución

[pic 19]

[pic 20]

Racionalizar y evaluar en , evitando de esta manera la forma indeterminadad (0/0).[pic 21]

3) Sea la expresión irracional

[pic 22]

Sustituiyendo ,[pic 23]

[pic 24]

Multiplicando y dividiendo por el conjugado del binomio del denominador:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Eliminando factores iguales, finalmente se obtiene:

[pic 28]

Sustityendo , [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Racionalizar y evaluar en , evitando l[pic 32]

[pic 33]

Solución        

Sustituyendo ,[pic 34]

[pic 35]

Multiplicando por el conjugado del binomio del denominador y llevando a cabo las simplificaciones correspondientes,

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Eliminando factores iguales, finalmente obtenemos:

[pic 39]

Por último, sustituyendo ,[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

***

Racionalizar y evaluar en [pic 43]

[pic 44]

Solución

Evaluando en ,[pic 45]

[pic 46]

Se procede a racionalizar, multiplicanco y dividiendo por el conjugado del binomio del un merador.

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Factorizando el numerador de manera conveniente e intercambiando sus términos, así como la expresión  del denominador,[pic 50]

[pic 51]

Ahora, eliminamos ambos factores iguales, obteniendose finalmente,

[pic 52]

Por último, evaluamos la nueva expresión resultante sustituyendo ,[pic 53]

[pic 54]

Racionalizar y evaluar en , [pic 55]

6) Sea la expresión irracional

[pic 56]

Sustituyendo , se tiene:[pic 57]

[pic 58]

Importante

Puesto que se tiene el mismo índice de raíz tanto en el numerador como en el denominador (raíces cuadradas), ahora se requiere llevar a cabo una doble racionalización, lo cual puede hacerse en un solo paso; a saber, multiplicando y dividiendo la expresión irracional propuesta por el conjugado de ambos binomios; es decir,

[pic 59]

Efectuando elproducto de los binomios conjugados:

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

Factorizando de manera conveniente numerador y denominador:

[pic 64]

Eminando ambos factores iguales, finalmente obtenemos la nueva expresión resultante de la racionalización.

[pic 65]

Por último, evaluamos sustituyendo :[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

****

Racionalizar y evaluar en , [pic 69]

7) Sea la expresión irracional

[pic 70]

Solución:

Al igual que en el ejemplo anterior, también en este caso efectuamos una doble racionalización a fin de evitar la indeterminación que se obtiene al sustituir el valor asigando a ; a saber,[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Reduciendo rtérminos semejantes y simplificando,

[pic 76]

[pic 77]

Eliminando ambos factores iguales, finalmente obtenemos la nueva expresión resultante del proceso de rtacionalización.

[pic 78]

Por último, sustituímos , obteniéndose:[pic 79]

[pic 80]

Simplificando, se tiene:

[pic 81]

Ejemplos con radicales de índice 3

Racionalizar y simplificar la siguiente expresión:

[pic 82]

Solución:

Como fue señalado anteriormente para el caso de radicales con índice 3, ahora el proceso de racionalización parte de multiplicar numerador y denominador por el factor:

[pic 83]

Es decir, por “La Raíz cúbica del cuadrado del primer subradical, menos la raíz cúbica del producto de ambos subradicales, más la raíz cúbica del cuadrado del segundo subradical.

Procediendo entonces:

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

Simplificando, obtenemos finalmente la nueva expresión resultante de la racionalización.

[pic 87]

Racionalizar y simplificar la siguiente expresión:

[pic 88]

Solución:

Multiplicando numerador y denominador por el factor :[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

Eliminando ambos factores iguales y simplificando,

[pic 92]

[pic 93]

Racionalizar la expresión y posteriormente evaluar para [pic 94]

[pic 95]

Solución

Como primer paso, el numerador se lleva a la forma de una diferencia de raíces cúbicas:

[pic 96]

Procediendo con la racionalización, multiplicando numerador y denominador por el factor:

[pic 97]

Se tiene:

[pic 98]

[pic 99]

Eliminando ambos factores iguales, obtenemos finalmente la nueva expresión como resultado del proceso de racionalización.

[pic 100]

Sustituyendo el valor ,[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

Racionalizar la expresión y posteriormente evaluar para [pic 104]

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