Números Irracionales
Enviado por sabibigolin • 14 de Febrero de 2013 • 1.676 Palabras (7 Páginas) • 887 Visitas
UNIDAD N° 1: NUMEROS IRRACIONALES. NUMEROS RADICALES.
Hasta ahora hemos visto los números naturales, los números enteros y los números racionales (todos los que pueden escribirse como fracción). Nos preguntamos ¿Serán todos los números que existen? ¿El número 0, 123456789101112… será un número racional?
Los números irracionales no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros y su expresión decimal tiene infinitas cifras que no se repiten periódicamente.
Actividad 1: Descubrir las reglas de formación que se usaron para generar estos irracionales y escribir las 6 cifras decimales que siguen:
a). 0, 2468101214… b). 0, 10100100010000… c). 7,12123123412345…
Actividad 2: Construyan tres números irracionales, estableciendo alguna regla.
Ahora nos cuestionamos: ¿Los números construidos de esta manera serán los ÚNICOS irracionales que existirán?
¿Habrá números irracionales en la vida cotidiana? Analicemos algunos números…
El número de oro
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo. Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA= .
Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2 .
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.
La espiral logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
El número π (pi)
El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Se puede calcular una aproximación de forma experimental. Puedes coger un recipiente redondo (por ejemplo, un bote de conservas) y medirlo. Yo he obtenido para la longitud de la circunferencia 26'7 cm, y para el diámetro 8'5 cm. He realizado la división y el cociente es 3'141176... (téngase en cuenta el error experimental). Los objetos redondos (ruedas, recipientes,...) han sido utilizados por el hombre desde hace miles de años. En algún momento debieron darse cuenta de que ese 3'14... que aparece siempre que manejamos circunferencias, círculos y esferas es un número que podemos utilizar para calcular longitudes, áreas y volúmenes.
¿Cómo ubicamos algunos números irracionales en la recta numérica? Recordemos
Teorema de Pitágoras:
a^2= b^2+ c^2
Supongamos entonces que queremos ubicar en la recta numérica √2.
Buscaremos dos números que elevados al cuadrado sumen 2. En este caso, pensando en el teorema
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