Resolución de ejercicios-Cambio de variables en integrales
Nicolas ChasinPráctica o problema30 de Agosto de 2022
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[pic 1]
Cálculo Vectorial[pic 2]
Profesores: Mishelle Cordero, Cristhian Hernández
Paralelo: 10
Tarea Grupal – Grupo# 8
Integrantes: Christian Rivera, Aarón Calderón, Nicolás Chasin, Andrew Cornejo.
Cambio de variables en Integrales
1.- Sabiendo que el área de círculo de radio r es , mediante el cambio de coordenadas , verificar que el área de la elipse es .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
Usando integrales dobles el área de la elipse puede definirse como:
[pic 7]
[pic 8]
Graficando la elipse:
[pic 9]
Teniendo los cambios: [pic 10]
[pic 11][pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
Aplicando el cambio de variable correspondiente se obtiene:
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Por otro lado, la ecuación de la elipse cambia a:
(ecuación de un círculo de radio 1) Entonces la integral doble puede resolverse hallando el área del círculo.[pic 18]
Resolución de la integral doble:
teniendo r=1[pic 19]
//[pic 20]
2.- Calcular donde D es la región encerrada por las rectas . [pic 21][pic 22]
Sugerencia: Sea De donde , . Respuesta: [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
[pic 27]
Teniendo la gráfica por las rectas
Calculamos el Jacobiano
[pic 28]
Posterior se calcula los límites de integración[pic 29][pic 30][pic 31]
[pic 32]
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[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
0 , [pic 37][pic 38]
2 , [pic 39][pic 40]
Se reemplaza las nuevas variables en la función
[pic 41]
Se resuelve la integral
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
//[pic 48]
3.- Calcular donde D es la región encerrada por las rectas .[pic 49][pic 50]
Sugerencia: Sea . De donde , . Respuesta: [pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
Hallando la región mediante las rectas dadas:[pic 55][pic 56]
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[pic 63][pic 64][pic 62]
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
Calculamos el Jacobiano
[pic 70]
Posterior se calcula los límites de integración[pic 71][pic 72][pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
, [pic 79][pic 80]
, [pic 81][pic 82]
Se reemplaza las nuevas variables en la función
[pic 83]
Se resuelve la integral
= [pic 84][pic 85]
[pic 86]
...