Resumen 2-2. Modelo de sistemas dinámicos
Enviado por EduardoSe213 • 7 de Diciembre de 2021 • Apuntes • 1.020 Palabras (5 Páginas) • 82 Visitas
Alumno: Alan Eduardo Ortega Tobias
Control
17/10/2021
Resumen 2-2. Modelo de sistemas dinámicos.
Anteriormente habíamos considerado únicamente los sistemas de control en situaciones de estado estable, la función de transferencia no cambiaba con el tiempo. En este resumen se tomará en cuenta el tiempo, es decir, el comportamiento dinámico de los sistemas.
Funciones de transferencia de elementos dinámicos
Vamos a suponer un sistema donde una entrada θ este relacionada a una salida, mediante la siguiente ecuación diferencial
[pic 1]
donde son constantes. Si todas las condiciones son iguales a cero, la transformada de Laplace es[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
En modelos dinámicos, la función de transferencia se define como el cociente de la transformada de Laplace de la salida entre la transformada de Laplace de la variable de entrada , esto solo si suponemos que las condiciones iniciales son cero.[pic 5][pic 6]
[pic 7]
Para el sistema de la ecuación anterior solo sustituimos
[pic 8]
La representación mediante diagrama de bloques es la siguiente:
[pic 9][pic 10][pic 11]
[pic 12][pic 13][pic 14]
Ejemplo 1
Escriba la función de transferencia G(s) para el sistema masa-resorte-amortiguador con F de entrada y x como salida.
[pic 15]
Respuesta:
Realizamos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial con todas las condiciones iniciales igual a cero, y se obtiene:
[pic 16]
Por lo tanto, la respuesta final es:
[pic 17]
Elementos de primero y segundo orden
El orden de un elemento o sistema se define como la máxima potencia de la derivada en una ecuación diferencial.
Podemos decir que un elemento de primer orden sólo tendrá s a la potencia 1 en el denominador de la función, y en un sistema de segundo orden sólo tendrá s a la potencia 2.
La ecuación diferencial de un elemento de primer orden es de la siguiente forma:
[pic 18]
La transformada de Laplace queda de la siguiente manera si [pic 19]
[pic 20]
y la función de transferencia
[pic 21]
reordenamos el sistema
[pic 22]
donde es la función en estado estable y es la constante de tiempo t del sistema, sustituimos estos valores[pic 23][pic 24]
[pic 25]
Ésta es la forma general de una relación entrada-salida para un sistema de primer orden.
Ahora describiremos que pasa con la relación entrada-salida para un sistema de segundo orden
[pic 26]
donde a y b son constantes, y si suponemos que t=0 se tiene que =0 y =0[pic 27][pic 28]
la transformada de Laplace queda de la siguiente manera:
[pic 29]
la función de transferencia
[pic 30]
Reordenamos
[pic 31]
Escribimos la ecuación diferencial en términos de frecuencia angular y del factor de amortiguamiento.
[pic 32]
donde es la frecuencia angular a la cual oscilara el sistema en ausencia de amortiguamiento y es el factor de amortiguamiento relativo. La transformada Laplace es:[pic 33][pic 34]
[pic 35]
la función de transferencia
[pic 36]
Ésta es la forma final que adopta un sistema de segundo orden en el dominio de s.
Respuesta escalón de un sistema de primer orden
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