SERIES NUMÉRICAS
RODRIGO ANDRE MEZA SÁNCHEZDocumentos de Investigación9 de Agosto de 2021
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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMA´TICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
Introducci´on a las sucesiones y series num´ericas
Ram´on Bruzual Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela Septiembre 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos Centro de An´alisis
Escuela de Matem´atica Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.
Pr´ologo
Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Sucesiones y Series Num´ericas, del curso de Matem´atica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Cen- tral de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ıa, Geoqu´ımica, Qu´ımica, Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de los gr´aficos est´a a cargo de los autores.
Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual. Marisela Dom´ınguez. Septiembre 2005.
iii
CONTENIDO
Cap´ıtulo 1. Sucesiones num´ericas. 1
- Definiciones y resultados b´asicos 1
- Sucesiones convergentes. 4
- El nu´mero e. 5
- Sucesiones mon´otonas. 5
- Operaciones con sucesiones 5
- Repaso de la regla de L’Hˆopital. 6
- L´ımite infinito 9
- Sumas finitas y el s´ımbolo sumatorio. 11
Ejercicios.
Sucesiones. 13
Cap´ıtulo 2. Series num´ericas. 19
- Series. 19
- Convergencia y divergencia de series. 22
- Criterios de convergencia para series de t´erminos positivos. 24
- Criterios de convergencia para series de t´erminos alternadas. 30
- Series telesc´opicas. 30
Ejercicios.
Series. 32
Cap´ıtulo 3. F´ormula de Stirling y producto de Wallis. 37
- La f´ormula de Stirling. 37
- El producto de Wallis. 38
Ejercicios.
F´ormula de Stirling y producto de Wallis. 41
Bibliograf´ıa 43
´Indice 45
v
CAP´ITULO 1
Sucesiones num´ericas.
Este cap´ıtulo es un repaso de cursos previos.
Concepto de sucesi´on y ejemplos. L´ımite de una sucesi´on. Propiedades del l´ımite. C´alculo de l´ımites de sucesiones.
Definiciones y resultados b´asicos
La idea de sucesi´on en R es la de una lista de puntos de R. Son ejemplos de sucesiones:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
2, 4, 6, 8, 10, . . .
1, 4, 9, 25, 36, . . .
1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .
1, 10, 100, 1.000, 10.000, . . .
1, −1, 1, −1, 1, . . .
Lo importante acerca de una sucesi´on es que a cada nu´mero natural n le corresponde un punto de R, por esto damos la siguiente definici´on.
Definicio´n 1.1. Una sucesi´on es una funci´on de N en R.
Si a : N → R es una sucesi´on en vez de escribir a(1), a(2), a(3), . . . suele escribirse
a1, a2, a3, . . .
La misma sucesi´on suele designarse mediante un s´ımbolo tal como {an}, (an) ´o {a1, a2, . . .}.
Tambi´en usaremos {an}, (an) ´o {a1, a2, . . .}.
Ejemplo 1.2. La sucesi´on de Fibonacci {an} est´a definida por
a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2.
1
Esta sucesi´on fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relaci´on con un problema de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y que despu´es de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El nu´mero an
de parejas nacidas en el n-´esimo mes es an−1 + an−2, puesto que nace una pareja por cada
pareja nacida en el mes anterior, y adem´as cada pareja nacida hace dos meses produce ahora una pareja nueva.
Una sucesi´on, al igual que toda funci´on, tiene una representaci´on gr´afica.
Por ejemplo, sean
αn = n
βn = (−1)n 1
γn = n[pic 1]
Las gr´aficas de {αn}, {βn} y {γn} son las siguientes:
5[pic 2]
4
3
2
1
1 2 3 4 5
Figura 1.1. {αn}
1[pic 3][pic 4][pic 5]
-1[pic 6][pic 7]
Figura 1.2. {βn}
...