Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz

4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

---- Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).

Si existe con , el Criterio de D'Alembert establece que:

§ si L < 1, la serie converge.

§ si L > 1, entonces la serie diverge.

§ si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

---- Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe, siendo Entonces, si:

§ L < 1, la serie es convergente.

§ L > 1 entonces la serie es divergente.

§ L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

4.3 Serie de potencias

En matemáticas , una serie de potencias (en una variable) es una serie infinita de la forma

donde un n representa el coeficiente de la n -ésimo término, c es una constante, y x varía alrededor de C (por esta razón, a veces se habla de la serie como está centrada en c ). Esta serie se presenta generalmente como la serie de Taylor de alguna conocida función .

En muchas situaciones c es igual a cero, por ejemplo cuando se considera una serie de Maclaurin . En tales casos, la serie de potencias toma la forma más simple

Estas series de potencias surgen fundamentalmente en el análisis , sino que también se producen en combinatoria (bajo el nombre de la generación de funciones ) y en ingeniería eléctrica (bajo el nombre de la transformada Z ). El familiarizado notación decimal para los números reales también se puede ver como un ejemplo de una serie de potencias, con coeficientes enteros, pero con el argumento x fija en 1/10 . En la teoría de números , el concepto de los números p-adic está también estrechamente relacionada con la de una serie de potencias.

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

4.4 Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma

viene dado por la expresión:

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma

recibe el nombre de serie de potencias centrada en x_0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que

, donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo

, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para

Si lo hace para cualquier valor de

Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo

en donde Es decir

Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes.

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