Series y sucesiones

Series y sucesiones

Generalidades:

Las series y sucesiones nos permiten tienen algunas aplicaciones dentro de la ingeniería y la informática, por ejemplo en el campo de las comunicaciones el manejo de las señales se hace mediante las series de fourier, la series de fibonacci sirve en el campo de la informática para generar números aleatorios.

En general las series y sucesiones además de servir para reprobar gente nos ayudan a aproximarnos a números, a lo largo de la historia se ha querido saber el valor del numero pi este se obtiene mediante una serie de números, así como el número e. También nos sirve para analizar funciones o señales por medio de funciones conocidas como el seno y el coseno en el caso de la serie de fourier.

SUCESIONES

Se define sucesión como una función cuyo dominio sean los números naturales y contradominio los números reales.

Ejemplo 1:

Mas ejemplos:

SERIES

La serie se define como la suma de los elementos de una sucesión. Las series se pueden trabajar en dos tipos de suma con términos infinitos y como términos finitos y se definen de la siguiente manera:

Ejemplos:

Como podemos ver si una serie la tomamos hacia el infinito puede converger y diverger.

SERIE ARMÓNICA

La serie armónica es una serie infinita divergente definida de la siguiente manera:

Otra parte importante en las series la consideraremos en el siguiente ejemplo:

Por ejemplo evalué:

Series:

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Por ejemplo, 1,4,9,16,25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita.

El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

Serie Infinita

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô.

Serie Finita

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz.

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene

...