Ejercicios de series y sucesiones
Jelitza GomezInforme8 de Diciembre de 2015
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SUCESIONES
2) h) [pic 1]
Teorema del resto:
[pic 2]
Como se analiza Euler es un numero y elevado a la n definitivamente no se aproxima a 0
La sumatoria de la serie es divergente
i) [pic 3]
Criterio de comparación:
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6][pic 7]
[pic 8][pic 9]
Va a llegar un punto siendo [pic 10][pic 11]
La sumatoria de la serie es divergente
SERIES
1)
a) [pic 12]
Criterio de comparación:
[pic 13]
[pic 14]
Por el criterio de integral
p[pic 15][pic 16]
Comprobación
[pic 17]
[pic 19][pic 18]
[ [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
La suma es convergente por lo tanto[pic 24]
Determinar si la suma de las series es convergente
b) [pic 25]
Por el criterio de comparación:
[pic 26]
Se crea esta serie para que sea mayor a la que queremos demostrar si es divergente o convergente[pic 27]
Ahora:
es decreciente [pic 28][pic 29]
[pic 30]
METODO DE LA INTEGRAL
Es divergente [pic 31][pic 32]
2) En los ejercicios siguientes, determinar si la serie p converge o diverge
Definida una serie “p” como:
[pic 33]
Para hallar la convergencia o
divergencia, utilizando el criterio de la integral:
[pic 34]
Si p>1, entonces la serie converge; si 0
- puede expresarse como , donde p=1.5>1; por lo tanto es convergente.[pic 35][pic 36]
- [pic 37]
- [pic 38]
- [pic 39]
- [pic 40]
- [pic 41]
3)
a)[pic 42]
Criterio de series alternadas
1) Si: [pic 43] es positivo y decreciente en valor absoluto
2) [pic 44]
Luego la serie es convergente por el criterio de series alternadas
Criterio de la integral
Si [pic 45]donde [pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
Luego la serie de valor absoluto es divergente por el criterio de la integral
En consecuencia la serie[pic 49] alternada es condicionalmente convergente.
b)[pic 50]
Criterio de series alternadas
1) Si [pic 51]es positivo y decreciente en valor absoluto
b) [pic 52]
Por el criterio de comparación:
[pic 53]
Se crea esta serie para que sea mayor a la que queremos demostrar si es divergente o convergente[pic 54]
Ahora:
es decreciente [pic 55][pic 56]
[pic 57]
METODO DE LA INTEGRAL
Es divergente [pic 58][pic 59]
2)[pic 60] Por L’Hopital
[pic 61]
Luego es convergente por el criterio de series alternadas
Criterio de la Razon
[pic 62] donde [pic 63]
[pic 64]
Luego es divergente por el criterio de la razón
En concsecuencia la serie [pic 65]alternada es condicionalmente convergente
c)[pic 66]
Criterio de series alternadas
1) Si [pic 67]es positivo y decrece en valor absoluto
2)[pic 68]
Luego la serie es convergente por el criterio de series alternadas
Criterio de las integrales
[pic 69] donde [pic 70]
[pic 71]
Luego la serie es divergente por el criterio de la integral
En consecuencia la serie [pic 72]alternada es condicionalmente convergente
d) [pic 73]
Criterio de series alternadas
1) Si [pic 74] es positivo y decreciente en valor absoluto
2) [pic 75]
Es convergente por el criterio de las series alternadas
Criterio de la razón
[pic 76] [pic 77]
[pic 78]
[pic 79] [pic 80]<1
Luego es convergente por el criterio de la razón
En consecuencia la serie[pic 81] alternada es absolutamente convergente
e)[pic 82]
Criterio de series alternadas
1) Si [pic 83]es positiva pero no es decreciente
Por lo tanto no cumple con el criterio de series alternadas, y es divergente
f)[pic 84]
Criterio de series alternadas
1) Si [pic 85] es positiva y decreciente en valor absoluto
2)[pic 86]
Es convergente por el criterio de series alternadas
Criterio de la integral
[pic 87] donde [pic 88]
[pic 89]
Es convergente por el criterio de la integral
En consecuencia la serie[pic 90]alternada es absolutamente convergente
g)[pic 91]
Criterio de series alternadas
1) Si [pic 92] es positiva y decreciente en valor absoluto
2)[pic 93]
Luego la serie es convergente por el criterio de series alternadas
Criterio de integral
[pic 94] donde [pic 95]
[pic 96]
La integral es divergente por el criterio de la integral
En consecuencia la serie [pic 97] alternada es condicionalmente convergente.
h) [pic 98]
- POR EL CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNADAS
= = 0,3678994412[pic 99][pic 100]
= = 1,871628817 x [pic 101][pic 102][pic 103]
= = 1,603810891 x [pic 104][pic 105][pic 106]
≥ ≥ ……………….. ≥ [pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]
[pic 111]
ES CONVERGENTE POR EL CRITERIO DE SERIES ALTERNADAS
- POR EL CRITERIO DE LA INTEGRAL
= donde = [pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]
= = [pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120]
N
│ = │ = = -0,367[pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126]
- POR LO TANTO ES CONVERGENTE
EN CONSECUENCIA, ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
- [pic 127]
= = = 0,2[pic 128][pic 129][pic 130]
= = = │0,457│[pic 131][pic 132][pic 133]
= = = │0,49│[pic 134][pic 135][pic 136]
≤ …………… ≤ [pic 137][pic 138][pic 139]
= = [pic 140][pic 141][pic 142][pic 143]
NO ES CONVERGENTE POR EL CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNADAS
j) [pic 144]
POR EL CRITERIO DE SERIES ALTERNADAS
= ││ = 1,44[pic 145][pic 146]
...