SUCESIONES Y SERIES

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SUCESIONES Y SERIES

SUCESIONES

Es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).

Para simbolizar un término general se utiliza la letra a o s, y las variables con la letra minúscula n.

Si el dominio de una función” F” es el conjunto de enteros positivos, entonces los elementos F(n) en el rango pueden arreglarse en un orden correspondiente a los valores      crecientes      de      n:      f      (1),      f      (2),      f      (3)      ….      f(n) se consideran funciones cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyos elementos        del        rango        son        números        reales Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos (naturales), suele denotarse mediante (𝑎𝑛) 𝑜 (𝑎𝑛) ∞= 1

𝑛

EJEMPLO:

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Una sucesión de números reales o sucesión en R es una función f definida en el conjunto de números naturales N con condominio en los reales R.

Notemos que en la definición especificamos que estamos hablando de sucesión de números reales, pues, en principio, podemos definir funciones de N a cualquier otro conjunto A, sin embargo, aquí solo trataremos el caso donde tal conjunto A es el conjunto de números reales.

Retomando el ejemplo anterior y considerando la definición dada, podemos ser más formales   y   establecer   que    la    anterior    sucesión    es    una    función f: N→R donde f(n)=n2+n10.[pic 6]

Dado que el dominio de las sucesiones siempre son los números naturales, podemos optar por una notación más práctica y denotar a las sucesiones como {an}. De esta forma, el primer término de nuestro ejemplo es a1=12+110=1.1, el segundo término es a2=4.2 y así sucesivamente. De forma más general, el n-ésimo término de la sucesión {an} es an=n2+n10.

Sucesiones convergentes y divergentes. Una aplicación x: N → R que asigna a cada número natural n un número real x(n) proporciona una sucesión de números reales x(0), x(1), x(2),        En general denotaremos xn = x(n) para cada número natural n

e identificaremos la sucesión con el conjunto {xn / n ∈ N} = {x0, x1, x2,       }. La

denotaremos por {xn}n∈N o simplemente {xn}. En muchas ocasiones la sucesión

{xn} está definida por un término general.

Por ejemplo, xn = 1/(n + 1) es el termino general de la sucesión {1, 1/2, 1/3, 1/4, . .

. }. En otros casos, la sucesión está definida por recurrencia y no es sencillo determinar el termino general. Por ejemplo, consideremos la célebre sucesión de Fibonacci construida a partir de x0 = 1, x1 = 1 por la recurrencia xn = xn−1 + xn−2 para todo n ≥ 2. Los primeros términos son x0 = 1, x1 = 1, x2 = x1 + x0 = 2, x3 = x2

+ x1 = 3, x4 = x3 + x2 = 5,      Límites.

Diremos que una sucesión {xn} tiene límite x ∈ R o que converge a x si los términos de la sucesión se aproximan a x cuando n tiende a infinito.

Se denota lımn→∞ xn = x. Formalmente, lımn→∞ xn = x ⇐⇒ [∀ ε > 0, ∃ N ∈ N / n ≥ N ⇒  |xn − x| < ε.] Sucesiones Si una sucesión tiene límite x ∈  R diremos que es convergente. Se deduce fácilmente de la definición que si una sucesión de números reales es convergente entonces su límite es ´único. Diremos que una sucesión {xn} tiene límite infinito si para todo número real M > 0 todos los términos de la sucesión salvo una cantidad finita son mayores que M.

Formalmente, lımn→∞ xn = ∞ ⇐⇒ [∀ M > 0, ∃ N ∈ N / n ≥ N ⇒ xn > M.] Análogamente, Limn→∞ xn = −∞ ⇐⇒ [∀ M > 0, ∃ N ∈ N / n ≥ N ⇒ xn < −M.]

Las sucesiones con lımite ±∞ se llaman sucesiones divergentes. Diremos que una sucesión esta acotada si existen dos números reales a, b tales que a ≤ xn ≤ b, ∀ n

∈ N. Es fácil probar que todas las sucesiones convergentes están acotadas y las divergentes no lo están. Observación. Existen sucesiones que no son convergentes ni divergentes. Por ejemplo, {cos(nπ)}n∈N = {1, −1, 1, −1, . . . }.

Ejemplos de sucesiones

Ahora revisaremos algunos ejemplos de sucesiones.

Ejemplo. Sea c∈R, la sucesión {an} generada por an=c para todo n∈N la llamamos sucesión constante. Así, la sucesión constante siempre toma el mismo valor y es de la forma

c,c,⋯,c,⋯

Ejemplo. La sucesión {an} generada por an=2n es la sucesión de números pares. Donde sus términos son

2,4,6, ⋯,2k, ⋯

Ejemplo. Sea {an} la sucesión generada por an= (−1) n. Los términos de la sucesión son −1,1,−1, ⋯, −1k, ⋯ Ejemplo. Sea {an} la sucesión generada por an=1n.

De esta forma, sus términos son1,12,13, ⋯,1k, ⋯

Ejemplo. Sea {an} la sucesión generada por an=2n. Con lo cual sus términos son 2,4,16, ⋯,2k⋯

Ejemplo. Una de las sucesiones más famosas es la sucesión de Fibonacci {fn} la cual se define de forma inductiva.[pic 7]

f1=1f2=1fn+1=fn−1+fn∀n≥2

A modo ilustrativo calcularemos los primeros 5 elementos de la sucesión {fn}. f1=1,f2=1,f3=1+1=2,f4=1+2=3,f5=2+3=5

Ejemplo. Sea {an} una sucesión definida inductivamente de la siguiente forma: a1=1an=n⋅an−1∀n≥2

De esta forma, los primeros 5 términos de la sucesión son1,2,6,24,120

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