Solución de ejercicios de matemáticas

49 Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos: A (–2, 1) y B (2, –1) sea igual a 1. ¿Qué figura obtienes? Represéntala.

Si P es el punto de coordenadas (x,y) de los datos del enunciado obtenemos:

La pendiente de la recta que une P con A es:

La pendiente de la recta que une P con B es:

El producto de las pendientes ha de ser igual a 1, es decir:

Efectuando las operaciones en la ecuación que hemos planteado,

Es una hipérbola de eje horizontal, en la que a = b =

Calculemos el valor de c, en una hipérbola c2 = a2 + b2

Los focos son los puntos

La pendiente de las asíntotas será

Por lo tanto las asíntotas son las rectas y = x e y = - x

La excentricidad es:

La representación gráfica es:

37 Una circunferencia del plano pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el centro sobre la recta x + 2y = 3. Halla su centro y su radio.

Si el centro de la circunferencia C(x,y) está sobre la recta x + 2 y = 3 → x = 3 – 2 y; entonces es de la forma C (3 – 2y, y).

• La distancia del centro a los dos puntos dados, A(1, 3) y B(3, 5) es la misma. Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia:

r = dist (C, A) = dist (C, B)

Como las dos distancias deben ser iguales,

El centro de la circunferencia es C (9, –3).

El radio es,

34 Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos en (4, 0) y (–4, 0).

Como los focos de la elipse están sobre el eje OX y el punto (0,0), que es el punto medio de los dos focos, es el centro de la elipse, la ecuación de la elipse es:

Como la elipse pasa por (3, 1)

Tenemos una ecuación pero dos incógnitas, a y b, necesitamos otra ecuación.

En una elipse se cumple a2 = b2 + c2 y sabemos que c = 4 → a2 = b2 + 16

Por lo tanto el sistema a resolver será:

Sustituyendo el valor de a2 en la primera ecuación: 9 b2 + b2 + 16 = (b2 + 16) b2

10 b2 + 16 = b4 + 16 b2

b4 + 6 b2 – 16 = 0 que es una ecuación bicuadrada

Como a2 = b2 + 16 → a2 = 2 + 16 → a2 = 18

La ecuación de la elipse será:

42 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos F (–3, 0) y F' (3, 0) y que pasa por el punto P(8, 5 ).

Este ejercicio podríamos resolverlo siguiendo un proceso similar al utilizado en el ejercicio 34, lo haremos de otra forma.

Como los focos de la hipérbola están sobre el eje OX y el punto (0,0) es el punto medio de los dos focos, la ecuación de la hipérbola es:

Hallamos la constante de la hipérbola: |dist (P, F) – dist (P, F' )| = 2a

De las coordenadas de los focos sabemos que c = 3.

En una hipérbola se cumple que c2 = a2 + b2, por lo tanto 32 = 22 + b2

9 = 4 + b2, → b2 = 5

La ecuación es:

44 La parábola y2 – 4y – 6x – 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su directriz.

Arreglamos la ecuación de la parábola para ponerla en su forma reducida,

y2 – 4y = 6 x + 5 

y2 – 4y + 4 = 6 x + 5 + 4

(y – 2)2 = 6 x + 9

El vértice de la parábola es V

El foco y el vértice de la parábola tienen la misma ordenada, luego la directriz será una recta vertical, x = a, de forma que

La directriz es x = –3.

32 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas:

a) 4x2 + 9y2 = 36 b) 16x2 – 9y2 = 144 c) 9x2 + 9y2 = 25

d) x2 – 4y2 = 16 e) y2 = 14x f ) 25x2 + 144y2 = 900

a) 4x2 + 9y2 = 36

Dividimos ambos miembros de la igualdad por 36,

Es la ecuación reducida de una elipse de eje mayor horizontal.

a2 = 9 → a = 3 ; b2 = 4 → b = 2

En una elipse se cumple a2 = b2 + c2, en este caso: 9 = 4 + c2 → c2 = 5 → c =

Los elementos de esta elipse son:

Centro ( 0 , 0 )

Focos ( , 0 ) y ( , 0 )

Semieje mayor a = 3

Semieje menor b = 2

b) 16x2 – 9y2 = 144

Dividimos ambos miembros de la igualdad por 144,

Es la ecuación reducida de una hipérbola de eje horizontal.

a2 = 9 → a = 3 ; b2 = 16 → b = 4

En una hipérbola se cumple c2 = a2 + b2, en este caso: c2 = 9 + 16 → c2 = 25 → c = 5

Los elementos de esta hipérbola son:

Centro ( 0 , 0 )

Focos (-5, 0 ) y (5, 0 )

Semieje mayor a = 3

Pendiente de las asíntotas

Ecuaciones de las asíntotas:

Excentricidad:

c) 9x2 + 9y2 = 25

Dividimos ambos miembros de la igualdad por 9,

Es la ecuación de una circunferencia de centro ( 0 , 0 ) y radio

d) x2 – 4y2 = 16

Dividimos ambos miembros de la igualdad por 16,

Es la ecuación reducida de una hipérbola de eje horizontal.

a2 = 16 → a = 4 ; b2 = 4 → b = 2

En una hipérbola se cumple c2 = a2 + b2, en este caso: c2 = 16 + 4 → c2 = 20 → c =

Los elementos de esta hipérbola son:

Centro ( 0 , 0 )

Focos (- , 0 ) y ( , 0 )

Semieje mayor a = 4

Pendiente de las asíntotas

Ecuaciones de las asíntotas:

Excentricidad:

e) y2 = 14x

Es la ecuación de una parábola,

Los elementos de esta parábola son: vértice ( 0 , 0 ), foco ( 3´5 , 0 ) y directriz x = - 3´5

f) 25x2 + 144y2 = 900

Dividimos ambos miembros de la igualdad por 900,

Es la ecuación reducida de una elipse de eje mayor horizontal.

a2 = 36 → a = 6 ; b2 = 25/4 → b = 5/2

En una elipse se cumple a2 = b2 + c2, en este caso:

Los elementos de esta elipse son:

Centro ( 0 , 0 )

Semieje mayor a = 6

Semieje menor b = 5/2

EJERCICIO 14 : Hallar la ecuación de las elipses centradas en el origen:

a) Cuyo eje mayor es 10 y un vértice del eje menor es B(0,4)

b) Cuya excentricidad es e = 12/13 y el eje menor es 10

c) Cuya distancia focal es 4 v la suma de distancias de un punto cualquiera a los focos es 8

d) Sabiendo que A(0,5) y F(0,4)

e) Sabiendo que pasa por el punto (0,4) y el semieje mayor es 5

f) Sabiendo que pasa por los puntos (2+ 3 ,4) y (3,3+ 2 )

EJERCICIO 15 : Determinar las coordenadas de los focos y de los vértices, la excentricidad y representarlas y su centro.

a) 1

36

y

100

x

2 2

  b) 1

16

y

25

x

2 2

  c) x

2

+ 4y

2

= 1

d) 2x

2

+ y

2

= 4 e)

 

1

25

y 1

9

x

2 2





 f)

   

1

9

y 3

4

x 1

2 2









EJERCICIO 16 : Hallar la ecuación de una cónica, centrada en el origen, de eje mayor OX, que pasa por el punto P(1,2) y su

excentricidad vale 1/2.

EJERCICIO 17 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(-5,0) y F(5,0) y su eje menor mide 2 cm. Calcular su ecuación.

EJERCICIO 18 : Sea una elipse centrada en el origen de eje mayor el eje de abscisas, cuya excentricidad 1/2 y la suma de distancias a

dos puntos fijos 8. Calcular:

a) Su ecuación

b) Dibújala y calcula las coordenadas de sus vértices y focos.

EJERCICIO 19 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(5,-I) y F(5,5) y su eje menor mide 2 cm.

a) Calcular su ecuación.

b) Hallar las coordenadas de sus vértices, la ecuación de sus ejes, su excentricidad y dibujarla.

HIPÉRBOLA

EJERCICIO 20 : Calcular la ecuación de una cónica centrada en el origen, si la diferencia de distancias a un punto fijo es 10 y su foco

es F(6,0).

EJERCICIO 21 : Hallar la ecuación de la hipérbola, centrada en el origen, cuya distancia focal es 10 cm y uno de sus vértices es

B(0,4). Calcular su excentricidad y las coordenadas de los focos y de los restantes vértices. Dibujarla.

EJERCICIO 22 : Escribir las ecuaciones de las hipérbolas siguientes:

a) Su centro Q-3,0), F(2,0) e = 5/4

b) Sus vértices son A(6,2), A’(-2,2) y su distancia focal es 10

c) a = 8, C(2,-3), B'(-4,-3)

EJERCICIO 23 : Determinar las coordenadas M centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las hipérbolas:

a) 1

4

(y 3)

9

(x 1)

2 2







...