Taller dinámica
Enviado por David Ayala Martinez • 21 de Noviembre de 2023 • Trabajos • 2.334 Palabras (10 Páginas) • 46 Visitas
- Desarrollen numéricamente los siguientes modelos matemáticos, grafique los resultados y analícelos:
- Utilicen los siguientes valores: 𝐿 = 1,21; 𝑔 = 10; 𝑎1 = 2,5; 𝑎2 = 5,0; Asuma condiciones iniciales diferentes de cero para 𝑡(0). El modelo es dimensionalmente consistente:
análisis matemático:
𝑳𝟐𝝋 −
𝜸̈ 𝐬𝐢𝐧 𝝋 + 𝝁̈ 𝐜𝐨𝐬 𝝋 = 𝟎
(𝒂𝟏+𝒂𝟐) 𝝁̈ − 𝝋̈ 𝐜𝐨𝐬 𝝋 − 𝝋̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 = (𝒂𝟏+𝒂𝟐) 𝒈[pic 1][pic 2]
𝒂𝟐𝑳
(𝒂𝟏+𝒂𝟐) 𝜸̈ − 𝝋̈ 𝐬𝐢𝐧 𝝋 = 𝝋̇𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋[pic 3]
𝒂𝟐𝑳
Desarrollo:
𝒂𝟐𝑳
1) 𝑳𝟐𝝋 −
𝜸̈ 𝐬𝐢𝐧 𝝋 + 𝝁̈ 𝐜𝐨𝐬 𝝋 = 𝟎
2) (𝒂𝟏+𝒂𝟐) 𝝁̈ − 𝝋̈ 𝐜𝐨𝐬 𝝋 − 𝝋̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 = ( 𝒂𝟏+𝒂𝟐) 𝒈
𝒂𝟐𝑳
3) (𝒂𝟏+𝒂𝟐) 𝜸̈ − 𝝋̈ 𝐬𝐢𝐧 𝝋 = 𝝋̇𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝒂𝟐𝑳
Despejo 𝝁̈ de 2
4) 𝝁̈ = 𝟏𝟐𝟏 𝝋̈ 𝐜𝐨𝐬 𝝋 + 𝟏𝟐𝟏 𝝋̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝟏𝟎[pic 4][pic 5]
𝒂𝟐𝑳
𝟏𝟓𝟎
Despejo 𝜸̈ de 3
𝟏𝟓𝟎
5) 𝜸̈ = 𝟏𝟐𝟏 𝝋̈ 𝐬𝐢𝐧 𝝋 + 𝟏𝟐𝟏 𝝋̇𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋[pic 6][pic 7]
𝟏𝟓𝟎
Remplazo 4 y 5 en 1
𝟏𝟓𝟎
6) 𝝋̈ = 𝟔.𝟏𝟒𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝝋[pic 8]
𝟏−𝟎.𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐−(𝐬𝐢𝐧 𝝋)𝟐)
Remplazamos 6 en 5 y 4
𝟒. 𝟗𝟓𝟖 (𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐
𝝁̈ = 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝝋)𝟐)[pic 9]
𝟒. 𝟗𝟓𝟖 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝜸̈ = 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝝋)𝟐)[pic 10]
+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟔𝝋̇ 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝟏𝟎
+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟔𝝋̇ 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋
Las ecuaciones para resolver son:
𝟔. 𝟏𝟒𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝝋̈ = 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝝋)𝟐)[pic 11]
𝟒. 𝟗𝟓𝟖 (𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐
𝝁̈ =
[pic 12]
𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝝋)𝟐)
+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟔𝝋̇ 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝟏𝟎
𝟒. 𝟗𝟓𝟖 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝜸̈ = 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝝋)𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝝋)𝟐)[pic 13]
+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟔𝝋̇ 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋
Tenemos que cambiar las ecuaciones 4,5 y 6 en ecuaciones de primer orden para esto hacemos cambio de variable:
Para 𝝋
𝒙𝟏 = 𝝋 → 𝒙𝟏̇ = 𝝋̇ → 𝒙𝟏̇ = 𝒙𝟐
𝒙𝟐 = 𝝋̇ → 𝒙𝟐̇ = 𝝋̈
Para 𝝁
𝒙𝟑 = 𝝁 → 𝒙𝟑̇ = 𝝁̇ → 𝒙𝟑̇ = 𝒙𝟒
𝒙𝟒 = 𝝁̇ → 𝒙𝟒̇ = 𝝁̈
Para 𝜸
𝒙𝟓 = 𝜸 → 𝒙𝟓̇ = 𝜸̇ → 𝒙𝟓̇ = 𝒙𝟔
𝒙𝟔 = 𝜸̇ → 𝒙𝟔̇ = 𝜸̈
Remplazando en las ecuaciones:
𝟔. 𝟏𝟒𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟏
𝒙𝟐 ̇=[pic 14]
𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝒙 )𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝒙 )𝟐)
𝒙𝟒̇ =
𝟏 𝟏
𝟒. 𝟗𝟓𝟖 (𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟏)𝟐
+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟔𝒙𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝟏𝟎[pic 15]
𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟏)𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟏)𝟐)
𝟒. 𝟗𝟓𝟖 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟏
𝒙̇ =
[pic 16]
+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟔𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝟔 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟓((𝐜𝐨𝐬 𝒙 )𝟐 − (𝐬𝐢𝐧 𝒙 )𝟐) 𝟐
𝟏 𝟏
Análisis grafico:
[pic 17]
...