Taller: movimiento amortiguado

TALLER N°1

1. Explique en que consiste un sistema de osciladores acoplados y diga su aplicación en Ingeniería Química (especialmente en química de estados solidos)

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Un sistema de osciladores acoplados es aquel que consta de muchos osciladores individuales interconectados entre sí. El modelo de osciladores acoplados se puede aplicar tanto a sistemas mecánicos como a modelos atómicos de sólidos.

Así como cada sistema oscilatorio tiene asociada una frecuencia característica de oscilación; un sistema con múltiples osciladores acoplados tiene asociado un conjunto de modos de oscilación con frecuencias características definidas.

El sistema más simple y básico es el modelado por dos masas y dos resortes: el primer resorte con un extremo fijo y el otro a la primera masa, y otro resorte que une el otro extremo de la primera masa con la segunda masa.

Sea k la constante elástica de los resortes, y m la masa de cada cuerpo involucrado. Se obtienen las ecuaciones:

Donde las constantes y dependen de los parámetros mencionados y .

2. Explique qué es un péndulo de torsión, sus aplicaciones y deduzca la ecuación del periodo.

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El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación.

3. Qué es un movimiento amortiguado y como se produce? Cuando un cuerpo que experimenta movimiento oscilatorio recibe una perturbación de un agente extern, produce tres tipos de movimiento de acuerdo a su comportamiento. Diga cuales son y cómo se producen. Explique y haga la deducción matemática.

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MOVIMIENTO AMORTIGUADO

Un movimiento amortiguado es aquel en el cual el péndulo al cabo de un tiempo deja de oscilar debido a que la energía mecánica se disipa por fuerza de rozamiento.

Un ejemplo de un oscilador amortiguado es un objeto unido a un resorte y sumergido en un líquido viscoso

Los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio. La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del amortiguamiento, pudiéndose dar dos casos distintos: el sobreamortiguamiento y el movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Consideremos el sistema formado por una masa m unida a un muelle de constante recuperadora k y longitud natural nula,y sometida además a una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. En este caso, las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza recuperadora del muelle y la fuerza de rozamiento

Fk= -kr Fv=-bv

El coeficiente b indica la intensidad de la fuerza del rozamiento. El signo negativo indica que esta fuerza se opone siempre a la velocidad.

Si suponemos que el movimiento se produce en una dimensión, escogiendo el eje X a lo largo de la dirección del movimiento podemos expresar las fuerzas como

El movimiento de la masa viene determinado por la Segunda Ley de Newton

Reordenamos los términos de la ecuación y la escribimos

siendo

El parámetro γ indica la intensidad del rozamiento y ω0 es la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento. Recibe el nombre de frecuencia natural.

SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

La ecuación que determina el movimiento de la masa es la del oscilador armónico con un término añadido proporcional a la velocidad, que representa el rozamiento al que está sometida la masa. Es una ecuación diferencial de coeficientes constantes. La técnica para resolver este tipo de ecuaciones es buscar soluciones de la forma x(t) = Aeλt

La idea es que al derivar esta función el resultado es ella misma multiplicada por el parámetro λ. Tenemos

Sustituyendo en la ecuación, podemos eliminar el factor común Aeλt, pues es siempre distinto de cero. Con ello obtenemos la ecuación que debe cumplir λ para que x(t) sea solución

Obtenemos dos posibles valores de λ. La solución general es una combinación lineal de las dos funciones definidas por estos dos posibles valores

Aquí, λ + corresponde a la solución con la raíz positiva y λ − a la solución con la raíz negativa.

El comportamiento de la solución depende de como es el radicando de la ecuación de segundo grado. Examinemos cada uno de los casos.

CASO SUBAMORTIGUADO

Veamos primero la situación en la que el rozamiento es pequeño. Entonces se cumple

Cuando se cumple esta condición el radicando es negativo, con lo cual la raíz cuadrada es un número imaginario puro. Si definimos , los valores de λ quedan

Siendo la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación es de la forma

Los coeficientes A + , A − deben ser tales que x(t) sea real. Recordando que según la fórmula de Euler

ejα = cos(α) + jsen(α) Vemos que la solución

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